Hình bạn tự vẽ nhé :))
Gọi O là giao điểm của 3 đường cao.
- Ta có
Ta có BE ⊥ AC (gt) và DN ⊥ AC (gt)
⇒BE//DN (từ vuông góc đến song song)
⇒$\frac{AE}{EN}$ = $\frac{AO}{OD}$ (định lý Ta - lét)(1)
Chứng minh tương tự ta có $\frac{AF}{IF}$ = $\frac{AO}{OD}$ (định lý Ta - lét)(2)
từ (1) và (2) ⇒ $\frac{AF}{IF}$ = $\frac{AE}{EN}$
Xét ΔAFE và ΔAIN có :
Góc A chung
$\frac{AF}{IF}$ = $\frac{AE}{EN}$ (CMT)
⇒ΔAFE ∽ ΔAIN (g-c-g)
⇒ Góc AFE = góc AIN
⇒FE//IN(*)
- Ta có
BE ⊥ AC và DN ⊥ AC
⇒BE//DN (từ vuông góc đến song song)
⇒$\frac{CD}{BD}$ = $\frac{CN}{EN}$ (định lý Ta - lét)(3)
Chứng minh tương tự ta có $\frac{CD}{BD}$ = $\frac{CM}{FM}$ (định lý Ta - lét)(4)
Từ (3) và (4)
⇒$\frac{CN}{EN}$ = $\frac{CM}{FM}$
Xét ΔCMN và ΔCFE có
Góc C chung
$\frac{CN}{EN}$ = $\frac{CM}{FM}$ (CMT)
⇒ΔCMN∽ΔCFE (c-g-c)
⇒Góc CMN = góc CFE
⇒MN//FE(**)
- Ta có:
DI ⊥ AB (gt) và CF ⊥ AB(gt)
⇒DI//CF (từ vuông góc đến song song)
⇒$\frac{DC}{BD}$ = $\frac{FI}{BI}$ (định lý Ta - lét)(5)
Chứng minh tương tự ta có $\frac{CD}{BD}$ = $\frac{KE}{BK}$ (định lý Ta - lét)(6)
Từ (5) và (6) ⇒ $\frac{FI}{BI}$=$\frac{FI}{BI}$
Xét Δ BIK và Δ BFE có :
$\frac{FI}{BI}$=$\frac{FI}{BI}$
Góc B chung
⇒ Δ BIK ∽ Δ BFE (c-g-c)
⇒Góc BIK = góc BFE
⇒IK//FE(***)
Từ (*), (**) và (***)
⇒ IKMN // FE
⇒I, K, M, N thẳng hàng ( Tiên đề Ơ-clit)
