$\\$
`a,`
`f (x) =ax^2 + bx + c`
$\bullet$ `f (1)=a . 1^2 +b . 1 +c`
`->f (1)=a +b+c` (1)
$\bullet$ `f (-2) =a . (-2)^2 + b . (-2)+c`
`-> f (-2)=4a - 2b +c` (2)
$\bullet$ `f (3) = a . 3^2 + 3b +c`
`->f (3) = 9a + 3b+c` (3)
Lấy (1) + (2) + (3) vế với vế ta được :
`f (1) + f (-2) + f (3)`
`= a +b+c+4a-2b+c+9a+3b+c`
`= (a+4a + 9a) + (b-2b+3b) + (c+c+c)`
`= 14a +2b+3c`
mà `14a + 2b + 3c=0`
`->f (1) + f (-2) + f (3)=0`
Ta thấy : Tổng 3 số bất kì bằng `0` chứng tỏ 3 số đó có ít nhất 1 số là số nguyên dương hay là số không âm
`->` Trong 3 số `f (1),f (-2), f (3)` có ít nhất 1 số không âm (đpcm)
$\\$
`b,`
`f (x)=ax^2 +bx+c`
$\bullet$ `f (1)=2012`
`-> a . 1^2 +b.1+c=2012`
`->a+b+c=2012` (1)
$\bullet$ `f (-2)=2036`
`-> a . (-2)^2 + b . (-2)+c=2036`
`->4a -2b+c=2036` (2)
$\bullet$ `f (3)=2036`
`-> a . 3^2 + b.3+c=2036`
`-> 9a +3b+c=2036` (3)
Lấy (2)-(1) vế với vế ta được :
`-> 4a-2b+c-a-b-c=2036 - 2012`
`-> 3a - 3b=24`
`->3 (a-b)=24`
`->a-b=8`
`->a=8+b`
Lấy (3)-(1) vế với vế ta được :
`-> 9a +3b+c-a-b-c=2036 - 2012`
`-> 8a +2b=24`
`-> 2 (4a +b)=24`
`->4a+b=12`
`-> 4 (8+b)+b=12`
`-> 32 + 4b+b=12`
`->5b=-20`
`->b=-4`
`-> a=9-4`
`->a=4`
Từ đó :
`-> 4-4+c=2012`
`->c=2012`
`f (x) = ax^2 +bx+c`
`-> f (x) = 4x^2 - 4x +2012`
`-> f (x) = 4x^2 -2x -2x + 1+2011`
`-> f (x) = (4x^2 - 2x) - (2x-1)+2011`
`-> f (x) = 2x (2x-1) - (2x-1)+2011`
`->f (x)=(2x-1) (2x-1)+2011`
`->f (x)=(2x-1)^2 +2011`
Với mọi `x` có : `(2x-1)^2 ≥ 0`
`-> (2x-1)^2 +2011 ≥ 2011 \ne 0`
`-> f (x) \ne 0`
`->f (x)` vô nghiệm (đpcm)
