Lời giải:
Câu 2:
Ta có:
$MC =\dfrac12BC\quad (gt)$
$AN = \dfrac12AD\quad (gt)$
mà $BC = AD\quad (gt)$
nên $MC = AN$
Lại có: $MC//AN\quad (BC//AD)$
Do đó $AMCN$ là hình bình hành
$\Rightarrow \overrightarrow{AM}=\overrightarrow{NC}$
Dễ dàng chứng minh được:
$ABMN$ là hình bình hành
$\Rightarrow AM, BN$ cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
$\Rightarrow NI = \dfrac12BN\quad (1)$
$CDNM$ là hình bình hành
$\Rightarrow CN, DM$ cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
$\Rightarrow DK =\dfrac12DM\quad (2)$
Chứng minh tương tự câu a, ta được:
$BMDN$ là hình bình hành
$\Rightarrow \begin{cases}BN = DM\\BN//DM\end{cases}\quad (3)$
Từ $(1)(2)(3)\Rightarrow \begin{cases}NI= DK\\NI//DK\end{cases}$
$\Rightarrow DNIK$ là hình bình hành
$\Rightarrow \overrightarrow{NI}=\overrightarrow{DK}$
Câu 3:
Ta có: $B'$ đối xứng $B$ qua $O$
$\Rightarrow BB'$ là đường kính
$\Rightarrow \widehat{BCB'}= 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
$\Rightarrow B'C\perp BC$
Ta lại có:
$H$ là trực tâm
$\Rightarrow AH\perp BC$
Do đó: $AH//B'C\quad (1)$
Chứng minh tương tự:
$\widehat{BAB'}=90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
$\Rightarrow B'A\perp AB$
Lại có:
$H$ là trực tâm
$\Rightarrow CH\perp AB$
Do đó: $CH\perp B'A\quad (2)$
Từ $(1)(2)\Rightarrow AHCB'$ là hình bình hành
$\Rightarrow \overrightarrow{AH}=\overrightarrow{B'C}$
