`a)` `{AB}/{AC}=2/3`
`=>AB=2k;AC=3k\quad (k>0)`
$∆ABC$ vuông tại $A$
`=>AB^2+AC^2=BC^2` (định lý Pytago)
`=>(2k)^2+(3k)^2=(\sqrt{52})^2`
`=>13k^2=52`
`=>k^2=4=>k=2` (vì `k>0)`
`=>AB=2k=2.2=4`
`\qquad AC=3k=3.2=6`
$\\$
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông
Xét $∆ABC$ vuông tại $A$ đường cao $AH$
`=>AH.BC=AB.AC`
`=>AH={AB.AC}/{BC}={4.\ 6}/\sqrt{52}={12}/\sqrt{13}={12\sqrt{13}}/{13}`
$\\$
`\qquad AB^2=BH.BC`
`=>BH={AB^2}/{BC}={4^2}/\sqrt{52}=8/\sqrt{13}={8\sqrt{13}}/{13}`
$\\$
`\qquad AC^2=CH.BC`
`=>CH={AC^2}/{BC}={6^2}/{\sqrt{52}}={18}/\sqrt{13}={18\sqrt{13}}/{13}`
$\\$
Vậy: `AH={12\sqrt{13}}/{13}; BH={8\sqrt{13}}/{13}`
`CH={18\sqrt{13}}/{13}`
$\\$
`b)` Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông
Xét $∆ABH$ vuông tại $H$ có $HM\perp AB$
`=>AH^2=AM.AB`
`=>AM={AH^2}/{AB}={({12\sqrt{13}}/{13})^2}/4={36}/{13}`
$\\$
Xét $∆ACH$ vuông tại $H$ có $HN\perp AC$
`=>AH^2=AN.AC`
`=>AN={AH^2}/{AC}={({12\sqrt{13}}/{13})^2}/6={24}/{13}`
$\\$
$∆AMN$ vuông tại $A$
`=>S_{∆AMN}=1/ 2 AM.AN`
`=1/2 . {36}/{13} . {24}/{13}={432}/{169}`
Vậy `S_{∆AMN}={432}/{169}` (đvdt)
