Đáp án:
a. $A = \frac{\sqrt[]{x}-1}{\sqrt[]{x}+2}$
b. $x = 1$
c. min $A = \frac{-1}{2}$
Giải thích các bước giải: ĐKXĐ : $x ≥ 0$
a. Đặt $B = \frac{1}{\sqrt[]{x}+1} - \frac{2}{x\sqrt[]{x}+x+\sqrt[]{x}+1}$
$B = \frac{x+1}{(x+1)×(\sqrt[]{x}+1)} - \frac{2}{(x+1)×(\sqrt[]{x}+1)}$
$B = \frac{x-1}{(x+1)×(\sqrt[]{x}+1)}$
$B = \frac{(\sqrt[]{x}+1)×(\sqrt[]{x}-1)}{(x+1)×(\sqrt[]{x}+1)}$
$B = \frac{\sqrt[]{x}-1}{x+1}$
Đặt $C = 2 - \frac{2x-\sqrt[]{x}}{x+1}$
$C = \frac{2x+2-2x+\sqrt[]{x}}{x+1}$
$C = \frac{\sqrt[]{x}+2}{x+1}$
Ta co : A = B : C
⇒ $A = \frac{\sqrt[]{x}-1}{x+1} : \frac{\sqrt[]{x}+2}{x+1}$
⇔ $A = \frac{\sqrt[]{x}-1}{x+1}×\frac{x+1}{\sqrt[]{x}+2}$
⇔ $A = \frac{\sqrt[]{x}-1}{\sqrt[]{x}+2}$
b. Để A nhận giá trị nguyên thì
$( \sqrt[]{x} - 1 ) \vdots ( \sqrt[]{x} + 2 )$
⇔ $( \sqrt[]{x} + 2 - 3 ) \vdots ( \sqrt[]{x} + 2 )$
⇒ $-3 \vdots ( \sqrt[]{x} + 2 )$
Vì $x ∈ Z , x ≥ 0$
⇒ $\sqrt[]{x} + 2$ ∈ ước của -3 = { ±1; ±3 }
Mà $\sqrt[]{x} + 2 ≥ 2$ với ∀ $x ∈ Z , x ≥ 0$
⇒ $\sqrt[]{x} + 2$ = 3
⇔ $\sqrt[]{x} = 1$
⇔ $x = 1$
c. $A = \frac{\sqrt[]{x}-1}{\sqrt[]{x}+2}$
⇔ $A = \frac{\sqrt[]{x}+2-3}{\sqrt[]{x}+2}$
⇔ $A = 1 - \frac{3}{\sqrt[]{x}+2}$
Vì $\sqrt[]{x} + 2 ≥ 2$ với ∀ $x ≥ 0$
⇒ $\frac{3}{\sqrt[]{x}+2} ≤ \frac{3}{2}$
⇒ $-\frac{3}{\sqrt[]{x}+2} ≥ \frac{-3}{2}$
⇒ $A = 1 - \frac{3}{\sqrt[]{x}+2} ≥ 1 + \frac{-3}{2} = \frac{-1}{2}$
Dấu "=" xảy ra ⇔ $x = 0$
