Đáp án+Giải thích các bước giải:
Ta có : `x + \sqrt{x} + 1`
`= (x + sqrt{x} + \frac{1}{4}) + \frac{3}{4}`
`= (\sqrt{x} + \frac{1}{2})² + \frac{3}{4}`
Vì `(\sqrt{x} + \frac{1}{2})² ≥ 0` với ∀x > 0 , x $\neq$ 1
nên `(\sqrt{x} + \frac{1}{2})² + \frac{3}{4} > 0`
`⇒ \frac{1}{(\sqrt{x} + \frac{1}{2})² + \frac{3}{4}} > 0`
`⇒ \frac{2}{(\sqrt{x} + \frac{1}{2})² + \frac{3}{4}} > 0`
hay P > 0 (*)
Xét hiệu : `P - 2 = \frac{2}{x + \sqrt{x} + 1} - 2`
`= \frac{2 - 2x - 2\sqrt{x} - 2}{x + \sqrt{x} + 1}`
`= \frac{-2(x + \sqrt{x})}{x + \sqrt{x} + 1}`
Vì `x > 0` nên `x + \sqrt{x} > 0`
`⇒ - 2(x + \sqrt{x}) < 0`
Mà `x + \sqrt{x} + 1 > 0`
`⇒ \frac{-2(x + \sqrt{x})}{x + \sqrt{x} + 1}` < 0
hay P - 2 < 0
⇒ P < 2 (**)
Từ (*) và (**) suy ra : `0 < P < 2`
