Bài 2.
$AB=3;AC=4$
$∆ABC$ vuông tại $A$
`=>BC^2=AB^2+AC^2=3^2+4^2=25` (định lý Pytago)
`=>BC=\sqrt{25}=5`
$\\$
`a)` Ta có:
`\qquad |\vec{AB}-\vec{AC}|`
`=|\vec{AB}+\vec{CA}|=|\vec{CA}+\vec{AB}|=|\vec{CB}|=BC=5`
Vậy `|\vec{AB}-\vec{AC}|=5`
$\\$
`b)` Gọi $I$ là trung điểm $BC$
`=>AI` là trung tuyến $∆ABC$ vuông tại $A$
`=>AI={BC}/2=5/2`
Vì $M$ là trung điểm $AC$ (gt)
`=>BM` là đường trung tuyến $∆ABC$
`=>` Trọng tâm $G$ chính là giao điểm của $AI$ và $BM$
`=>GI=1/3 AI=1/ 3 . 5/2=5/6`
Ta có:
`\qquad |\vec{GB}-\vec{CG}|`
`=|\vec{GB}+\vec{GC}|=|2\vec{GI}|` (tính chất trung điểm)
`=2GI= 2 . 5/6=5/3`
Vậy: `|\vec{GB}-\vec{CG}|=5/3`
$\\$
`c)` `|\vec{BA}+\vec{BC}|=|2\vec{BM}|` (tính chất trung điểm
`=2BM`
$\\$
Vì $M$ là trung điểm $AC$
`=>AM={AC}/2=4/2=2`
Xét $∆ABM$ vuông tại $A$
`=>BM^2=AB^2+AM^2=3^2+2^2=13`
`=>BM=\sqrt{13}`
`=>2BM=2\sqrt{13}`
`=>|\vec{BA}-\vec{BC}|=2\sqrt{13}`
$\\$
`d)` `|\vec{AB}+\vec{AC}|=|2\vec{AI}|` (tính chất trung điểm)
`=2AI=2 . 5/2=5`
Vậy: `|\vec{AB}+\vec{AC}|=5`
$\\$
Bài 3. $ ABCD$ là hình vuông
`=>AB=BC=CD=AD=a`
$\\$
`a)` `|\vec{CA}-\vec{CD}|=|\vec{CA}+\vec{DC}|`
`=|\vec{DC}+\vec{CA}|=|\vec{DA}|=AD=a`
Vậy: `|\vec{CA}-\vec{CD}|=a`
$\\$
`b)` `|\vec{AB}-\vec{AC}+\vec{BD}|`
`=|\vec{CA}+\vec{AB}+\vec{BD}|`
`=|\vec{CA}+\vec{AD}|=|\vec{CD}|=CD=a`
Vậy: `|\vec{AB}-\vec{AC}+\vec{BD}|=a`
$\\$
`c)` $ABCD$ là hình vuông
`=>\vec{BC}=\vec{AD}`
`\qquad ∆ABD` vuông tại $A$
`=>BD^2=AB^2+AD^2=a^2+a^2=2a^2` (định lý Pytago)
`=>BD=\sqrt{2a^2}=a\sqrt{2}`
$\\$
`\qquad |\vec{BA}+\vec{BC}+2\vec{BD}|`
`=|\vec{BA}+\vec{AD}+2\vec{BD}|`
`=|\vec{BD}+2\vec{BD}|=|3\vec{BD}|=3BD=3a\sqrt{2}`
Vậy: `|\vec{BA}+\vec{BC}+2\vec{BD}|=3a\sqrt{2}`
