Đáp án:
$Min_P=0$ khi `x=y=0`
$Max_P=2$ khi `x=y=1`
Giải thích các bước giải:
Đặt `a=sqrt{x+1} (a>=0)`
`<=>a^2=x+1`
`<=>x=a^2-1`
Đặt `b=sqrt{y+1} (b>=0)`
`<=>b^2=y+1`
`<=>y=b^2-1`
Khi đó: `x+y=a^2-1+b^2-1`
`=a^2+b^2-2`
Ta có: `(a-b)^2>=0 ∀ a, b`
`<=>a^2-2ab+b^2>=0`
`<=>2a^2+2b^2>=a^2+2ab+b^2`
`<=>2a^2+2b^2>=(a+b)^2`
`<=>2(a^2+b^2)>=(sqrt{x+1}+sqrt{y+1})^2`
`<=>2(a^2+b^2)>=[sqrt2(x+y)]^2`
`<=>2(a^2+b^2)>=[sqrt2(a^2+b^2-2)]^2`
`<=>2(a^2+b^2)>=2(a^2+b^2-2)^2`
`<=>2(a^2+b^2)>=2[(a^2+b^2)-2]^2`
`<=>2(a^2+b^2)>=2[(a^2+b^2)^2-4(a^2+b^2)+4]`
`<=>2(a^2+b^2)-2(a^2+b^2)^2+8(a^2+b^2)-8>=0`
`<=>(a^2+b^2)-(a^2+b^2)^2+4(a^2+b^2)-4>=0`
`<=>(a^2+b^2)^2-(a^2+b^2)-4(a^2+b^2)+4<=0`
`<=>(a^2+b^2)(a^2+b^2-1)-4(a^2+b^2-1)<=0`
`<=>(a^2+b^2-1)(a^2+b^2-4)<=0`
`<=>`$\begin{cases} \begin{cases} a^2+b^2-1\le0\\a^2+b^2-4\ge0 \end{cases}\\\begin{cases} a^2+b^2-1\ge0\\a^2+b^2-4\le0 \end{cases} \end{cases}$
`<=>`$\begin{cases} \begin{cases} a^2+b^2\le1\\a^2+b^2\ge4 \end{cases}\\\begin{cases} a^2+b^2\ge1\\a^2+b^2\le4 \end{cases} \end{cases}$
`=>1<=a^2+b^2<=4`
`<=>1-2<=a^2+b^2-2<=4-2`
`<=>-1<=x+y<=2`
hay `-1<=P<=2` `(1)`
Lại có: `sqrt{x+1}+sqrt{y+1}=sqrt2(x+y)`
`<=>x+y=(sqrt{x+1}+sqrt{y+1})/sqrt2>=0`
hay `P>=0` `(2)`
Từ `(1), (2)=>0<=P<=2`
Do đó $Min_P=0$ khi $\begin{cases} x+y=0\\\sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}=0 \end{cases}$ `=>x=y=0`
Và $Max_P=2$ khi $\begin{cases} x+y=2\\\sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}=2\sqrt2 \end{cases}$ `=>x=y=1`
Vậy $Min_P=0$ khi `x=y=0`
$Max_P=2$ khi `x=y=1`
