Xét phương trình `x^2-2(m-1)x+m-5=0`
Có `Δ=[-2(m-1)]^2-4(m-5)`
`=4(m-1)^2-4m+20`
`=4(m^2-2m+1)-4m+20`
`=4m^2-8m+4-4m+20`
`=4m^2-12m+24`
`=4m^2-12m+9+15`
`=(2m-3)^2+15`
Có `(2m-3)^2\ge0` với mọi `x`
`⇒(2m-3)^2+15\ge15>0` với mọi `x`
`⇒Δ>0`
`⇒` Phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi `x`
Với `x_1,x_2` là nghiệm của phương trình. Theo Viét có:
`{(x_1+x_2=2(m-1)=2m-2),(x_1.x_2=m-5):}(I)`
`A=x_1^2+x_2^2=x_1^2+2x_1x_2+x_2^2-2x_1x_2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2`
Thay `(I)` vào `A` có:
`A=(2m-2)^2-2(m-5)`
`=4m^2-8m+4-2m+10`
`=4m^2-10m+14`
`=4m^2-10m+25/4+31/4`
`=(2m-5/2)^2+31/4`
Có `(2m-5/2)^2\ge0` với mọi `m`
`⇒(2m-5/2)^2+31/4\ge31/4` với mọi `m`
`⇒`$Min$`A=31/4` với mọi `m`
Dấu "=" xảy ra
`⇔2m-5/2=0`
`⇔2m=5/2`
`⇔m=5/4`
Vậy với `m=5/4` thì $Min$`A=31/4`
