`\qquad D;E\in (O;{AC}/2)`
`=>DO=EO={AC}/2; O` là trung điểm $AC$
`=>` $DO$ là trung tuyến $∆ACD$ và `DO={AC}/2`
`=>∆ACD` vuông tại $D$ (∆ có trung tuyến bằng nửa cạnh đối diện là ∆ vuông)
`=>CD`$\perp AB$ tại $D$
$\\$
`\qquad EO` là trung tuyến $∆ACE$ và `EO={AC}/2`
`=>∆ACE` vuông tại $E$
`=>AE`$\perp BC$ tại $E$
$\\$
Gọi $H$ là giao điểm của $CD$ và $AE$
`=>H` là trực tâm $∆ABC$
`=>BH`$\perp AC$
$\\$
Gọi $I$ là trung điểm $BH$
`=>DI;EI` lần lượt là trung tuyến của hai tam giác vuông $∆BDH;∆BEH$
`=>DI=HI=BI=EI={BH}/2`
`=>I` là tâm đường tròn ngoại tiếp $∆BDE$ bán kính $DI$ $(1)$
$\\$
`\qquad DI=HI=>∆IDH` cân tại $I$
`=>\hat{IDH}=\hat{IHD}`
Ta có:
`\qquad \hat{IHD}=\hat{BAO}` (cùng phụ `\hat{DBH}`)
`=>\hat{IDH}=\hat{BAO}=\hat{DAO}` $(2)$
$\\$
Vì `DO=AO={AC}/2`
`=>∆OAD` cân tại $O$
`=>\hat{DAO}=\hat{ADO}` $(3)$
$\\$
Từ `(2);(3)=>\hat{IDH}=\hat{ADO}`
`=>\hat{IDO}=\hat{IDH}+\hat{ODH}`
`=\hat{ADO}+\hat{ODH}=\hat{ADH}=90°`
`=>\hat{IDO}=90°`
`=>OD`$\perp DI$ $(4)$
Từ `(1);(4)=> OD` là tiếp tuyến tại $D$ của đường tròn ngoại tiếp $∆BDE$ (đpcm)
