$ABCD$ là hình thang có `\hat{A}=\hat{B}=90°`
`=>\hat{A}+\hat{B}=180°`
`=>\hat{A};\hat{B}` là hai góc trong cùng phía bù nhau
`=>AD`//$BC$
$\quad AB\perp AD$ $(1)$
$M$ là trung điểm $AB$
Gọi $I$ là trung điểm $CD$
`=>MI` là đường trung bình hình thang $ABCD$
`=>MI`//$AB$//$DC$ $(2)$
Từ `(1);(2)=>AB`$\perp MI$ $(3)$
$\\$
Vì $MI$ là trung tuyến $∆CMD$ vuông tại $M$
`=>MI=ID=1/2CD`
`=>MI` là bán kính của đường tròn đường kính $CD$ $(4)$
Từ `(3);(4)=>AB` là tiếp tuyến của đường tròn đường kính $CD$ (đpcm)
$\\$
`b)` Vẽ $ME\perp CD$ tại $E$
Câu a ta có: `MI=ID`
`=>∆MID` cân tại $I$
`=>\hat{IMD}=\hat{IDM}`
Vì $AD$//$BC$
`=>\hat{ADM}=\hat{IMD}` (hai góc so le trong)
`=>hat{ADM}=\hat{IDM}=\hat{EDM}`
$\\$
Xét $∆EDM$ và $∆ADM$ có:
`\qquad \hat{MED}=\hat{MAD}=90°`
`\qquad MD` là cạnh chung
`\qquad \hat{EDM}=\hat{ADM}` (c/m trên)
`=>∆EDM=∆ADM` (cạnh huyền -góc nhọn)
`=>ME=MA=1/ 2 AB`
`=>ME` là bán kính của đường tròn đường kính $AB$
Mà $CD\perp ME$ tại $E$
`=>CD` là tiếp tuyến tại $E$ của đường tròn đường kính $AB$
$\\$
`c)` Xét $∆MEC$ và $∆MBC$ có:
`\qquad \hat{MEC}=\hat{MBC}=90°`
`\qquad MC` là cạnh chung
`\qquad ME=MB=1/2AB`
`=>∆MEC=∆MBC` (cạnh huyền -cạnh góc vuông)
`=>EC=BC`
$\\$
Vì $∆EDM=∆ADM$ (câu b)
`=>ED=AD`
$\\$
Xét $∆CMD$ vuông tại $M$ có $ME\perp CD$
`=>EC.ED=ME^2` (hệ thức lượng)
`=>BC.AD=(1/2AB)^2=(1/ 2 . 2a)^2=a^2`
Vậy $BC.AD=a^2$