Giải thích các bước giải:
Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$:
$$VT \ge \frac{3}{\sqrt[3]{abc(a+b)(b+c)(a+c)} }$$
Do đó ta chỉ cần chứng minh:
$$3^6abc(a+b)(b+c)(c+a) \le 8(a+b+c)^6$$
Theo bất đăng thức $AM-GM$:
Ta có: $$3^3abc \ge (a+b+c)^3$$ $(1)$
Và: $$3^3(a+b)(b+c)(a+c) \le [(a+b)+(b+c)+(a+c)]^3$$ $(2)$
Nhân $(1)$ và $(2)$:
$⇒$ $$3^6abc(a+b)(b+c)(c+a) \le 8(a+b+c)^6$$ (Đpcm)
$⇔$ $$abc(a+b)(b+c)(c+a) \le \frac{8(a+b+c)^6}{3^6}$$
$⇔$ $$\sqrt[3]{(a+b)(b+c)(a+c)} \le \frac{2(a+b+c)^2}{9}$$
$⇒$ $$\frac{3}{\sqrt[3]{abc(a+b)(b+c)(a+c)} } \ge \frac{3}{ \frac{2(a+b+c)^2}{9}}=\frac{27}{2(a+b+c)^2}$$
$=>$ Điều phải chứng minh.
