Đáp án:
$5. 2$
$6. \sqrt[]{5} + \sqrt[]{3}$
$7. \sqrt[]{3} + 1$
$8. 35$
Giải thích các bước giải:
$5. ( 2 + \sqrt[]{3} )( \sqrt[]{6} - \sqrt[]{2} )\sqrt[]{2-\sqrt[]{3}}$
$= ( 2 + \sqrt[]{3} )( \sqrt[]{3} - 1 )\sqrt[]{4-2\sqrt[]{3}}$
$= ( 2 + \sqrt[]{3} )( \sqrt[]{3} - 1 )\sqrt[]{3-2\sqrt[]{3}+1}$
$= ( 2 + \sqrt[]{3} )( \sqrt[]{3} - 1 )\sqrt[]{(\sqrt[]{3}-1)^{2}}$
$= ( 2 + \sqrt[]{3} )( \sqrt[]{3} - 1 )( \sqrt[]{3} - 1 )$
$= ( 2 + \sqrt[]{3} )( 4 - 2\sqrt[]{3} )$
$= 2( 2 + \sqrt[]{3} )( 2 - \sqrt[]{3} )$
$= 2( 4 - 3 )$
$= 2$
$6. \sqrt[]{(4+\sqrt[]{15})(\sqrt[]{10}+\sqrt[]{6})\sqrt[]{4-\sqrt[]{15}}}$
$= \sqrt[]{(4+\sqrt[]{15})(\sqrt[]{5}+\sqrt[]{3})\sqrt[]{8-2\sqrt[]{15}}}$
$= \sqrt[]{(4+\sqrt[]{15})(\sqrt[]{5}+\sqrt[]{3})\sqrt[]{5-2\sqrt[]{15}+3}}$
$= \sqrt[]{(4+\sqrt[]{15})(\sqrt[]{5}+\sqrt[]{3})\sqrt[]{(\sqrt[]{5}-\sqrt[]{3})^{2}}}$
$= \sqrt[]{(4+\sqrt[]{15})(\sqrt[]{5}+\sqrt[]{3})(\sqrt[]{5}-\sqrt[]{3})}$
$= \sqrt[]{(4+\sqrt[]{15})(5-3)}$
$= \sqrt[]{8+2\sqrt[]{15}}$
$= \sqrt[]{5+2\sqrt[]{15}+3}$
$= \sqrt[]{(\sqrt[]{5}+\sqrt[]{3})^{2}}$
$= \sqrt[]{5} + \sqrt[]{3}$
$7. \sqrt[]{6+2\sqrt[]{2}\sqrt[]{3-\sqrt[]{4+2\sqrt[]{3}}}}$
$= \sqrt[]{6+2\sqrt[]{2}\sqrt[]{3-\sqrt[]{3+2\sqrt[]{3}+1}}}$
$= \sqrt[]{6+2\sqrt[]{2}\sqrt[]{3-\sqrt[]{(\sqrt[]{3}+1)^{2}}}}$
$= \sqrt[]{6+2\sqrt[]{2}\sqrt[]{3-\sqrt[]{3}-1}}$
$= \sqrt[]{6+2\sqrt[]{4-2\sqrt[]{3}}}$
$= \sqrt[]{6+2\sqrt[]{3-2\sqrt[]{3}+1}}$
$= \sqrt[]{6+2\sqrt[]{(\sqrt[]{3}-1)^{2}}}$
$= \sqrt[]{6+2(\sqrt[]{3}-1)}$
$= \sqrt[]{4+2\sqrt[]{3}}$
$= \sqrt[]{(\sqrt[]{3}+1)^{2}}$
$= \sqrt[]{3} + 1$
$8.$ Ta co : $8\sqrt[]{20+2\sqrt[]{43+24\sqrt[]{3}}}$
$= 8\sqrt[]{20+2\sqrt[]{16+24\sqrt[]{3}+27}}$
$= 8\sqrt[]{20+2\sqrt[]{(4+3\sqrt[]{3})^{2}}}$
$= 8\sqrt[]{20+2(4+3\sqrt[]{3})}$
$= 8\sqrt[]{28+6\sqrt[]{3}}$
$= 8\sqrt[]{27+6\sqrt[]{3}+1}$
$= 8\sqrt[]{(3\sqrt[]{3}+1)^{2}}$
$= 8( 3\sqrt[]{3} + 1 ) = 24\sqrt[]{3} + 8$
Lai co : $( 13 - 4\sqrt[]{3} )( 7 + 4\sqrt[]{3} )$
$= 91 + 52\sqrt[]{3} - 28\sqrt[]{3} - 48$
$= 43 + 24\sqrt[]{3}$
⇒ $( 13 - 4\sqrt[]{3} )( 7 + 4\sqrt[]{3} ) - 8\sqrt[]{20+2\sqrt[]{43+24\sqrt[]{3}}}$
$= 43 + 24\sqrt[]{3} - 24\sqrt[]{3} - 8$
$= 35$
