Đáp án:
a) $M=\dfrac{x^2}{x^4-x^2+1}$
b) $MaxM=1$`<=>x=1`
Giải thích các bước giải:
a) $M=\dfrac{x^4+2}{x^6+1}+\dfrac{x^2-1}{x^4-x^2+1}-\dfrac{x^2+3}{x^4+4x^2+3}$
Đặt $t=x^2$ ta có:
$M=\dfrac{t^2+2}{t^3+1}+\dfrac{t-1}{t^2-t+1}-\dfrac{t-3}{t^2+4t+3}$
$=\dfrac{t^2+2}{(t+1)(t^2-t+1)}+\dfrac{t-1)}{t^2-t+1}-\dfrac{t+3}{(t+1)(t+3)}$
$=\dfrac{t^2+2}{(t+1)(t^2-t+1)}+\dfrac{(t-1)(t+1)}{(t^2-t+1)(t+1)}-\dfrac{t^2-t+1}{(t^2-t+1)(t+1)}$
$=\dfrac{t^2+2+t^2-1-t^2+t-1}{(t+1)(t^2-t+1)}$
$=\dfrac{t^2+t}{(t+1)(t^2-t+1)}$
$=\dfrac{t(t+1)}{(t+1)(t^2-t+1)}$
$=\dfrac{t}{t^2-t+1}$
Hay $M=\dfrac{x^2}{x^4-x^2+1}$
b) Với $x=0$ thì $M=0$
Với $x\ne0$, chia $2$ vế cho $x^2$
Khi đó $M=\dfrac{1}{x^2+\dfrac{1}{x^2}-1}$
Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy$ ta có:
$x^2+\dfrac{1}{x^2}-1\ge2.\sqrt{x^2.\dfrac{1}{x^2}}-1=2-1=1$
$⇒M=\dfrac{1}{x^2+\dfrac{1}{x^2}-1}\le{1}{1}=1$
Dấu "`=`" xảy ra `<=>x^2=1/x^2`
Hay `x=1`
Vậy GTLN của $M$ là $1$ `<=>x=1`
