a) + Có: ΔABM đều (gt) ⇒ AM = AB = BM (đ/n)
ΔAMD đều (gt) ⇒ AM = AD = MD (đ/n)
ΔMDC đều (gt) ⇒ MD = DC = MC (đ/n)
⇒ AB = AM = BM = AD = MD = DC = MC
+ Xét ΔABM và ΔAMD có:
$\left.\begin{matrix} \text{AB = AM (cmt)}\\\text{AM = AD (cmt)}\\ \text{BM = MD (cmt)}\end{matrix}\right\}\text{=> ΔABM $\backsim$ ΔAMD (c - c - c)} $ $\\$ $\text{=> $\widehat{AMB}$ = $\widehat{MAD }$ (2 góc tương ứng)}$
$\text{+ Lại có:}$ $\\$ $\left.\begin{matrix} \text{$\widehat{AMB}$ = $\widehat{MAD }$}\\\text{2 gó ở vị trí so le trong}\\ \end{matrix}\right\}\text{=> AD // BC (t/c 2 đường thẳng song song)}$
+ Có: ΔABM, ΔAMD và ΔMDC đều (gt)
⇒ $\widehat{ABM}$ = $\widehat{BMA}$ = $\widehat{BAM}$ = $\widehat{AMD}$ = $\widehat{MDA}$ = $\widehat{MAD}$ = $\widehat{DMC}$ = $\widehat{MDC}$ = $\widehat{DCM}$ = $60^{o}$ $\text{(t/c)}$
+ Lại có: $\widehat{BMA}$ + $\widehat{AMD}$ + $\widehat{DMC}$ $\\$ $\text{Thay số: $60^o$ + $60^o$ + $60^o$ = $180^o$ }$
⇒ $\text{B, M, C thẳng hàng }$
+ Xét tứ giác ABCD có:
AD // BC (cmt)
⇒ ABCD là hình thang (đ/n)
mà $\widehat{ABC}$ = $\widehat{DCB}$ (hay $\widehat{ABM}$ = $\widehat{DCM}$ - cmt)
⇒ ABCD là hình thang cân (đ/n)
b) Có: $\dfrac{AD}{BC}$ = $\dfrac{AD}{BM + MC}$ = $\dfrac{1}{2}$ (vì AD = BM = MC - cmt)
+Xét tứ giác ADMB có:
AD = DM = MB = AB (cmt)
⇒ Tứ giác ADMB là thoi. (DHNB)
⇒ Đường chéo BD là phân giác $\widehat{ABM}$ (tính chất)
Xét ΔABC có BO là phân giác $\widehat{ABC}$ (hay BD là phân giác $\widehat{ABM}$ - cmt)
⇒ $\dfrac{AB}{BC}$ = $\dfrac{AO}{OC}$ (t/c tia phân giác)
mà AB = AD (cmt)
⇒ $\dfrac{AD}{BC}$ = $\dfrac{OA}{OC}$ (1)
+ Xét tứ giác ADCM có:
AD = DC = CM = AM (cmt)
⇒ Tứ giác ADCM là thoi. (DHNB)
⇒ Đường chéo CA là phân giác $\widehat{DCM}$ (tính chất)
Xét ΔBDC có CO là phân giác $\widehat{DCB}$ (hay CA là phân giác $\widehat{DCM}$ - cmt)
⇒ $\dfrac{DC}{BC}$ = $\dfrac{OD}{OB}$ (t/c tia phân giác)
mà AD = CD (cmt)
⇒ $\dfrac{AD}{BC}$ = $\dfrac{OD}{OB}$ (2)
Từ (1) và (2) ⇒ $\dfrac{AD}{BC}$ = $\dfrac{OA}{OC}$ = $\dfrac{OD}{OB}$
mà $\dfrac{AD}{BC}$ = $\dfrac{1}{2}$ (cmt)
⇒ $\dfrac{OA}{OC}$ = $\dfrac{OD}{OB}$ = $\dfrac{1}{2}$ (đpcm)
@TRYPHENA
--------------------------------------- CHÚC BẠN HỌC TỐT -----------------------------------------
