`a)` Ta có:
`AB` là đường kính của nửa `(O)`
`=>O` là trung điểm $AB$
`=>CO` là trung tuyến $∆CAB$
Vì `CO=OA=OB=1/ 2 AB`
`=>∆CAB` vuông tại $C$ (∆ có trung tuyến bằng nửa cạnh đối diện là ∆ vuông)
`=>BC`$\perp EA$ tại $C$ $(1)$
$\\$
Ta cũng có $DO$ là trung tuyến $∆DAB$
Vì `DO=AO=BO=1/ 2 AB`
`=>∆DAB` vuông tại $D$
`=>AD`$\perp EB$ tại $D$ $(2)$
$\\$
Từ `(1);(2)` và `Q` là giao điểm của $CB$ và $AD$
`=>Q` là trực tâm $∆EAB$
`=>EQ`$\perp AB$ (đpcm)
$\\$
`b)` Gọi $M$ là trung điểm $EQ$
`=>CM;DM` lần lượt là trung tuyến hai tam giác vuông $∆ECQ$ và $∆EDQ$
`=>CM=DM=EM=QM=1/ 2 EQ`
`=>E;C;Q;D` cùng thuộc đường tròn tâm `M` đường kính `EQ` (đpcm)
$\\$
`c)` Gọi $I$ là trung điểm $CD$
`=>OI`$\perp CD$ tại $I$ (tính chất đường kính vuông góc tại trung điểm dây cung)
Xét tứ giác $AHKB$ có:
$AH$//$OI$//$BK$ (cùng $\perp CD$)
`=>AHKB` là hình thang
Vì $O$ là trung điểm $AB$ và $OI$//$AH$//$BK$
`=>I` là trung điểm $HK$ ($OI$ là đường trung bình hình thang $AHKB$)
`=>IH=IK`
Mà `IC=ID` ($I$ là trung điểm $CD$)
`=>IH-IC=IK-ID`
`=>CH=DK` (đpcm)
$\\$
`d)` Ta có:
`\hat{ACH}+\hat{BCK}+\hat{ACB}=180°`
`=>\hat{ACH}+\hat{BCK}=180°-\hat{ACB}=180°-90°=90°`
Ta lại có: $∆ACH$ vuông tại $H$
`=>\hat{ACH}+\hat{CAH}=90°` (hai góc phụ nhau)
`=>\hat{CAH}=\hat{BCK}`
$\\$
Xét $∆ACH$ và $∆CBK$ có:
`\qquad \hat{AHC}=\hat{BKC}=90°`
`\qquad \hat{CAH}=\hat{BCK}`
`=>∆ACH∽∆CBK` (g-g)
`=>{HA}/{KC}={CH}/{BK}`
`=>KC.CH=HA.BK` $(3)$
Vì `CH=DK`
`=>KC=DK+CD=CH+CD=HD`
`(3)=>HD.DK=HA.BK` (đpcm)
