`\sqrt{3-x}+\sqrt{x-1}=2+(x-y)^2` (Điều kiện: `1<=x<=3`)
Vì `1<=x<=3` nên áp dụng BĐT Cô-si cho các cặp số không âm `3-x` và `1;x-1` và `1` ta có:
`\frac{3-x+1}{2}>=\sqrt{(3-x).1}`
`=>\frac{4-x}{2}>=\sqrt{3-x}\ (1)`
Lại có: `\frac{x-1+1}{2}>=\sqrt{(x-1).1}`
`=>\frac{x}{2}>=\sqrt{x-1}\ (2)`
Từ `(1)` và `(2)=>\frac{4-x}{2}+\frac{x}{2}>=\sqrt{3-x}+\sqrt{x-1}`
`=>\sqrt{3-x}+\sqrt{x-1}<=2\ (3)`
Ta có: `(x-y)^2>=0∀x;y`
`=>(x-y)^2+2>=2∀x;y\ (4)`
Vì `\sqrt{3-x}+\sqrt{x-1}=(x-y)^2+2`
Nên từ `(3)` và `(4)` ta có hệ phương trình: `{((x-y)^2+2=2),(\sqrt{3-x}+\sqrt{x-1}=2):}`
$⇔\begin{cases} x=y\\\left[\begin{matrix} 3-x=1\\ x-1=1\end{matrix}\right. \end{cases}$
`<=>x=y=2`
Vậy `x=y=2`
