Đáp án:
GTLN $A = 2005$ khi $x = \frac{1}{3} , y = \frac{2}{3}$
Giải thích các bước giải:
Ta có :
$A = - 5x^{2} + 2xy - 2y^{2} + 2x + 2y + 2004$
$⇔ 9A = - 45x^{2} + 18xy - 18y^{2} + 18x + 18y + 18036$
$⇔ 9A = - ( 9x^{2} - 18xy + 9y^{2} ) - 36x^{2} - 9y^{2} + 18x + 18y + 18036$
$⇔ 9A = - ( 3x - 3y )^{2} - 36x^{2} - 9y^{2} - 2( 3x - 3y ) + 24x + 12y + 18036$
$⇔ 9A = [ - ( 3x - 3y )^{2} - 2( 3x - 3y ) - 1 ] - ( 36x^{2} - 24x + 4 ) - ( 9y^{2} - 12y + 4 ) + 18045$
$⇔ 9A = - ( 3x - 3y + 1 )^{2} - ( 6x - 2 )^{2} - ( 3y - 2 )^{2} + 18045 ≤ 18045$
( vì $- ( 3x - 3y + 1 )^{2} ≤ 0 , - ( 6x - 2 )^{2} ≤ 0 , - ( 3y - 2 )^{2} ≤ 0$ với $∀ x , y$ )
$⇔ 9A ≤ 18045$
$⇔ A ≤ 2005$
Dấu "=" xảy ra ⇔ $3x - 3y = - 1 , 6x = 2 , 3y = 2$
⇔ $x = \frac{1}{3} , y = \frac{2}{3}$
