Đáp án đúng: B
Giải chi tiết:Cho \(a,b,c\) là các số thực không âm và thỏa mãn \(a + b + c = 3\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
\(K = \sqrt {12a + {{\left( {b - c} \right)}^2}} + \sqrt {12b + {{\left( {a - c} \right)}^2}} + \sqrt {12c + {{\left( {a - b} \right)}^2}} .\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}12a + {\left( {b - c} \right)^2} = 4a.3 + {b^2} - 2bc + {c^2} = 4a.\left( {a + b + c} \right) + {b^2} - 2bc + {c^2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 4{a^2} + 4ab + 4ac + {b^2} + {c^2} - 2bc\end{array}\)
Tương tự ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}12b + {\left( {a - c} \right)^2} = 4{b^2} + 4bc + 4ba + {a^2} + {c^2} - 2ac\\12c + {\left( {a - b} \right)^2} = 4{c^2} + 4ac + 4bc + {a^2} + {b^2} - 2ab\end{array} \right..\)
Giả sử: \(a \le b \le c\, \Rightarrow a \le b \le c \le 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {do\,\,a + b + c = 3} \right)\)
Áp dụng bất đẳng thức: \({\left( {x + y + z} \right)^2} \le 3\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {K^2} \le 3.\left[ {12a + {{\left( {b - c} \right)}^2} + 12b + {{\left( {a - c} \right)}^2} + 12c + {{\left( {a - b} \right)}^2}} \right]\\ \Leftrightarrow {K^2} \le 3.\left[ {\left( {4{a^2} + 4ab + 4ac + {b^2} + {c^2} - 2bc} \right) + \left( {4{b^2} + 4ba + 4bc + {a^2} + {c^2} - 2ac} \right) + \left( {4{c^2} + 4ac + 4bc + {b^2} + {a^2} - 2ab} \right)} \right]\\ \Leftrightarrow {K^2} \le 3\left( {6{a^2} + 6{b^2} + 6{c^2} + 6ab + 6bc + 6ac} \right)\\ \Leftrightarrow {K^2} \le 18\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} + ab + bc + ca} \right)\\ \Leftrightarrow {K^2} \le 9\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) + 9\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2bc + 2ca} \right)\\ \Leftrightarrow {K^2} \le 9\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) + 9{\left( {a + b + c} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {K^2} \le 9.3 + {9.3^2}\\ \Leftrightarrow {K^2} \le 108\\ \Leftrightarrow K \le \sqrt {108} = 6\sqrt 3 \end{array}\)Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b = c\\a + b + c = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \,a = b = c = 1.\)
Vậy giá trị lớn nhất của \(K\) là \(6\sqrt 3 \) khi và chỉ khi \(a = b = c = 1\).
Chọn B.
