Trong không gian \(Oxyz,\) cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( -1;\ 0;\ 2 \right)\) và đi qua điểm \(A\left( 0;\ 1;\ 1 \right).\) Xét các điểm \(B,\ C,\ D\) thuộc \(\left( S \right)\) sao cho \(AB,\ AC,\ AD\) đôi một vuông góc với nhau. Thể tích của khối tứ diện \(ABCD\) có giá trị lớn nhất bằng:
A.\(\frac{8}{3}\)                                                
B.\(4\)                                       
C.  \(\frac{4}{3}\)                                                
D. \(8\)

Cho khối lăng trụ \(ABC.A'B'C',\) khoảng cách từ \(C\) đến đường thẳng \(BB'\) bằng \(\sqrt{5},\) khoảng cách từ \(A\) đến các đường thẳng \(BB'\) và \(CC'\) lần lượt bằng \(1\) và \(2,\) hình chiếu vuông góc của \(A\) lên mặt phẳng \(\left( A'B'C' \right)\) là trung điểm \(M\) của \(B'C'\) và \(A'M=\sqrt{5}.\) Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng:
A.\(\frac{2\sqrt{5}}{3}\)                                
B.   \(\frac{2\sqrt{15}}{3}\)                                
C. \(\sqrt{5}\)                                          
D.\(\frac{\sqrt{15}}{3}\)

Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có tâm \(O.\) Gọi \(I\) là tâm của hình vuông \(A'B'C'D'\) và \(M\) là điểm thuộc đoạn thẳng \(OI\) sao cho \(MO=\frac{1}{2}MI\) (tham khảo hình vẽ). Khi đó sin của góc tạo bởi mặt phẳng \(\left( MC'D' \right)\) và \(\left( MAB \right)\) bằng:
A.\(\frac{17\sqrt{13}}{65}\)            
B.\(\frac{6\sqrt{85}}{85}\)                        
C.  \(\frac{7\sqrt{85}}{85}\)                         
D.  \(\frac{6\sqrt{13}}{65}\)

Cho tứ diện \(OABC\) có \(OA,\ OB,\ OC\) đôi một vuông góc với nhau, \(OA=a\) và \(OB=OC=2a.\) Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC.\) Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(OM\) và \(AB\) bằng:
A.\(\frac{\sqrt{2}a}{2}\)                                 
B.  \(a\)                             
C.\(\frac{2\sqrt{5}a}{5}\)                                  
D.  \(\frac{\sqrt{6}a}{3}\)

Ông A dự định sử dụng hết \(5,5{{m}^{2}}\) kính để làm một bể cá bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép có kích thước không đáng kể). Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?
A.\(1,17{{m}^{3}}\)                               
B.\(1,01{{m}^{3}}\)                            
C.   \(1,51{{m}^{3}}\)                                  
D.   \(1,40{{m}^{3}}\)

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \(f\left( 2 \right)=-\frac{1}{5}\) và \(f'\left( x \right)={{x}^{3}}{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2}}\) với mọi \(x\in R.\) Giá trị của \(f\left( 1 \right)\) bằng:
A.\(-\frac{4}{35}\)                               
B.  \(-\frac{71}{20}\)                             
C.  \(-\frac{79}{20}\)                                   
D.  \(-\frac{4}{5}\)

Cho hai hàm số \(y=f\left( x \right),\ y=g\left( x \right).\) Hai hàm số \(y=f'\left( x \right)\) và \(y=g'\left( x \right)\) có đồ thị hàm như hình vẽ bên, trong đó đường cong đậm hơn là đồ thị của hàm số \(y=g'\left( x \right).\) Hàm số \(h\left( x \right)=f\left( x+6 \right)-g\left( 2x+\frac{5}{2} \right)\) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A.\(\left( \frac{21}{5};+\infty  \right)\)                        
B.\(\left( \frac{1}{4};\ 1 \right)\)          
C. \(\left( 3;\ \frac{21}{5} \right)\)                
D.\(\left( 4;\ \frac{17}{4} \right)\)

a) Xác định các giá trị của \(m\) để phương trình \({{x}^{2}}-2mx-6m-9=0\) (\(x\) là ẩn số) có hai nghiệm phân biệt \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\) thỏa mãn điều kiện \(\frac{1}{{{x}_{1}}}+\frac{1}{2{{x}_{2}}}=\frac{1}{3}\)
b) Giải phương trình \(\sqrt[3]{3{{x}^{2}}-x+1}-\sqrt[3]{3{{x}^{2}}-7x+2}-\sqrt[3]{6x-3}=\sqrt[3]{2}\)
A.a) \(m=-\frac{3}{2};\ \ m=-\frac{9}{8}\)
b)  \(S=\left\{ 0,85;\ \frac{1}{6};\ 1;\ \frac{4}{3} \right\}\)
B.a) \(m=-\frac{1}{2};\ \ m=-\frac{9}{8}\)
b)  \(S=\left\{ 0,85;\ \frac{1}{6};\ 1;\ \frac{4}{3} \right\}\)
C.a) \(m=-\frac{1}{2};\ \ m=-\frac{3}{8}\)
b)  \(S=\left\{ 0,85;\ \frac{1}{6};\ 1;\ \frac{4}{3} \right\}\)
D.a) \(m=-\frac{1}{2};\ \ m=-\frac{9}{8}\)
b)  \(S=\left\{ 0,85;\ \frac{1}{8};\ 1;\ \frac{2}{3} \right\}\)

a) Cho các biểu thức \(P\left( x \right)=\frac{5x-12\sqrt{x}-32}{x-16}\) và \(Q\left( x \right)=x+\sqrt{x}+3\) . Tìm các số nguyên \({{x}_{0}}\) sao cho \(P\left( {{x}_{0}} \right)\) và \(Q\left( {{x}_{0}} \right)\) là các số nguyên, đồng thời là ước của .
b) Cho \(t=\frac{x}{{{x}^{2}}-x+1}\) Tính giá trị của biểu thức \(A=\frac{{{x}^{2}}}{{{x}^{4}}+{{x}^{2}}+1}\) theo \(t\)
A.a) \(x=4\)
b)\(A=\frac{{{t}^{2}}}{{{t}^{2}}+2t}\) khi \(x\ne 0\)
\(A=0\) khi \(x=0\) 
B.a) \(x=5\)
b)\(A=\frac{{{t}^{2}}}{{{t}^{2}}+2t}\) khi \(x\ne 0\)
\(A=0\) khi \(x=0\) 
C.a) \(x=4\)
b)\(A=\frac{{{t}^{2}}}{{{t}^{2}}+t}\) khi \(x\ne 0\)
\(A=0\) khi \(x=0\) 
D.a) \(x=8\)
b)\(A=\frac{{{t}^{2}}}{{{t}^{2}}+3t}\) khi \(x\ne 0\)
\(A=t\) khi \(x=0\)

Cho \(a>0,\ b>0\) thỏa mãn \({{\log }_{2a+2b+1}}\left( 4{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+1 \right)+{{\log }_{4ab+1}}\left( 2a+2b+1 \right)=2.\) Giá trị của \(a+2b\) bằng:
A.\(\frac{15}{4}\)                                           
B.   \(5\)                                         
C.\(4\)                             
D.\(\frac{3}{2}\)