Ta thấy rằng $8q + 1$ là một số lẻ, nên $p^2$ cũng là một số lẻ, và do đó $p$ là một số lẻ.
Đặt $p = 2k+1$, ta có
$(2k+1)^2 = 8q + 1$
$<-> 4k^2 + 4k + 1 = 8q + 1$
$<-> k^2 + k = 2q$
$<-> q = \dfrac{k(k+1)}{2}$
Ta thấy rằng $k(k+1)$ là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp nên luôn là một số chẵn.Ko mất tquat, giả sử $k = 2m$, khi đó ta có
$q = m(2m+1)$
Do $q$ là một số nguyên tố nên $m =1$ hoặc $2m+1 = 1$ vì nếu ngược lại, $q$ là hợp số.$
Do đó $m = 1$ hoặc $m = 0$, vậy $q= 3$ hoặc $q = 0$ (loại)
Vậy $q = 3$, suy ra $p^2 = 25$ hay $p = 5$.
Vậy $p = 5, q = 3$.
