Trong không gian \(Oxyz,\) cho điểm \(A\left( {1;0;0} \right),\,B\left( {0; - 1;0} \right),\,C\left( {0;0;1} \right),\,D\left( {1; - 1;1} \right).\) Mặt cầu tiếp xúc 6 cạnh của tứ diện \(ABCD\) cắt \(\left( {ACD} \right)\) theo thiết diện có diện tích \(S\). Chọn mệnh đề đúng?
A.\(S = \dfrac{\pi }{3}\)
B.\(S = \dfrac{\pi }{6}\)
C.\(S = \dfrac{\pi }{4}\)
D.\(S = \dfrac{\pi }{5}\)

Trong không gian \(Oxyz,\) cho đường thẳng \(d:\,\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y - 2}}{{ - 2}} = \dfrac{{z + 2}}{1}\) . Mặt phẳng nào sau đây vuông góc với đường thẳng \(d.\)
A. \(\left( Q \right):\,x - 2y - z + 1 = 0\)
B.\(\left( T \right):\,x + y + 2z + 1 = 0.\)
C.\(\left( R \right):x + y + z + 1 = 0\)
D.\(\left( P \right):\,x - 2y + z + 1 = 0.\)

Cho hình nón đỉnh \(S\) có đáy là đường tròn tâm \(O\) bán kính \(R.\) Trên đường tròn \(\left( O \right)\) lấy 2 điểm \(A,\,B\) sao cho tam giác \(OAB\) vuông. Biết diện tích tam giác \(SAB\) bằng \({R^2}\sqrt 2 ,\) thể tích \(V\) của khối nón đã cho bằng
A. \(V = \dfrac{{\pi {R^3}\sqrt {14} }}{2}\)
B.\(V = \dfrac{{\pi {R^3}\sqrt {14} }}{6}\)
C.\(V = \dfrac{{\pi {R^3}\sqrt {14} }}{3}\)
D.\(V = \dfrac{{\pi {R^3}\sqrt {14} }}{{12}}\)

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):\,x - z + 6 = 0\) và hai mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right):\,{x^2} + {y^2} + {z^2} = 25;\,\,\,\left( {{S_2}} \right):\,{x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x - 4z + 7 = 0.\) Biết rằng tập hợp tâm \(I\) các mặt cầu tiếp xúc với cả hai mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right)\,,\,\,\,\left( {{S_2}} \right)\) và tâm \(I\) nằm trên \(\left( P \right)\) là một đường cong. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong đó.
A.\(\dfrac{9}{7}\pi \)
B. \(\dfrac{7}{9}\pi \)
C. \(\dfrac{7}{6}\pi \)
D.\(\dfrac{7}{3}\pi \)

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):\,{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 25\) và \(M\left( {4;6;3} \right)\). Qua \(M\) kẻ các tia \(Mx,\,My,\,Mz\) đôi một vuông góc với nhau và cắt mặt cầu tại các điểm thứ hai tương ứng là \(A,B,C\). Biết mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) luôn đi qua một điểm cố định \(H\left( {a;b;c} \right).\) Tính \(a + 3b - c.\)
A.\(9\)
B.\(20\)
C.\(14\)
D.\(11\)

Cho các số thực \(a,b,c,d\) thay đổi luôn thỏa mãn \({\left( {a - 3} \right)^2} + {\left( {b - 6} \right)^2} = 1\) và \(4c + 3d - 5 = 0\). Tính giá trị nhỏ nhất của \(T = {\left( {c - a} \right)^2} + {\left( {d - b} \right)^2}.\)
A.\(16\)
B.\(18\)
C.\(9\)
D.\(15\)

Biết phương trình \(a{x^3} + b{x^2} + cx + d = 0\,\left( {a \ne 0} \right)\). Có đúng hai nghiệm thực. Hỏi đồ thị hàm số \(y = \left| {a{x^3} + b{x^2} + cx + d} \right|\) có bao nhiêu điểm cực trị ?
A.\(4\)
B.\(3\)
C.\(5\)
D.\(2\)

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị \(\left( C \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0,\,x = 2\) (phần tô đen) là:
A.\(S =  - \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx + \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx.} } \)
B.\(S = \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx.} \)
C.\(S = \left| {\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} } \right|.\)
D.\(S = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx - \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} } \)

Cho tập \(A = \left\{ {0;1;2;3;4;5;6} \right\}.\) Xác suất để lập được số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nahu lấy từ các phần tử của tập \(A\) sao cho số đó chia hết cho 5 và các chữ số \(1,2,3\) luôn có mặt cạnh bằng nhau là
A.\(\dfrac{1}{{40}}\)
B.\(\dfrac{{11}}{{360}}\)
C.\(\dfrac{{11}}{{420}}\)
D.\(\dfrac{1}{{45}}\)

Cho khối tứ diện \(ABCD\) có \(BC = 3,\,CD = 4,\,\angle ABC = \angle BCD = \angle ADC = {90^0}.\) Góc giữa hai đường thẳng \(AD\) và \(BC\) bằng \({60^0}.\) Côsin góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {ACD} \right)\) bằng
A.\(\dfrac{{\sqrt {43} }}{{86}}\)
B.\(\dfrac{{\sqrt {43} }}{{43}}\)
C.\(\dfrac{{2\sqrt {43} }}{{43}}\)
D.\(\dfrac{{4\sqrt {43} }}{{43}}\)