Cho tứ diện \(ABCD\) có độ dài các cạnh \(AB = AC = AD = BC = BD = a\) và \(CD = a\sqrt 2 \). Góc giữa hai đường thẳng \(AD\) và \(BC\) bằng:
A.\({90^0}\)
B.\({45^0}\)
C.\({30^0}\)
D.\({60^0}\)

Trong không gian \(Oxyz\), cho các điểm \(A\left( {2;1;0} \right),\,\,B\left( {0;4;0} \right),\,\,C\left( {0;2; - 1} \right)\). Biết đường thẳng \(\Delta \) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) và cắt đường thẳng \(d:\,\,\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y + 1}}{1} = \dfrac{{z - 2}}{3}\) tại điểm\(D\left( {a;b;c} \right)\) thỏa mãn \(a > 0\) và tứ diện \(ABCD\) có thể tích bằng \(\dfrac{{17}}{6}\). Tổng \(a + b + c\) bằng:
A.5
B.4
C.7
D.6

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\) và thỏa mãn \(f\left( 0 \right) = 0\). Biết \(\int\limits_0^1 {{f^2}\left( x \right)dx} = \dfrac{9}{2}\) và \(\int\limits_0^1 {f'\left( x \right)\cos \dfrac{{\pi x}}{2}dx} = \dfrac{{3\pi }}{4}\). Tích phân \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} \) bằng:
A.\(\dfrac{1}{\pi }\)
B.\(\dfrac{4}{\pi }\)
C.\(\dfrac{6}{\pi }\)
D.\(\dfrac{2}{\pi }\)

Xét số phức \(z = a + bi\,\,\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\) thỏa mãn \(4\left( {z - \overline z } \right) - 15i = i{\left( {z + \overline z - 1} \right)^2}\). Tính \(P = - a + 4b\) khi \(\left| {z - \dfrac{1}{2} + 3i} \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất.
A.\(P = 7\)
B.\(P = 6\)
C.\(P = 5\)
D.\(P = 4\)

Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của \(m\) để phương trình \(2\left( {m + 1 - {{\sin }^2}x} \right) - \left( {4m + 1} \right)\cos x = 0\) có nghiệm thuộc khoảng \(\left( {\dfrac{\pi }{2};\dfrac{{3\pi }}{2}} \right)\).
A.\(\left( {0; + \infty } \right)\)
B.\(\left( { - \infty ; - \dfrac{1}{2}} \right)\)
C.\(\left( { - \dfrac{1}{2};0} \right]\)
D.\(\left[ { - \dfrac{1}{2};0} \right)\)

Trong không gian \(Oxyz\), cho ba đường thẳng \({d_1}:\,\,\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{{z + 1}}{{ - 1}}\); \({d_2} = \dfrac{{x + 2}}{1} = \dfrac{{y - 1}}{{ - 2}} = \dfrac{z}{2}\); \({d_3}:\,\,\dfrac{{x + 3}}{{ - 3}} = \dfrac{{y - 2}}{{ - 4}} = \dfrac{{z + 5}}{8}\). Đườn gthẳng song song với \({d_3}\), cắt \({d_1}\) và \({d_2}\) có phương trình là:
A.\(\dfrac{{x - 1}}{{ - 3}} = \dfrac{y}{{ - 4}} = \dfrac{{z + 1}}{8}\)
B.\(\dfrac{{x - 1}}{{ - 3}} = \dfrac{y}{{ - 4}} = \dfrac{{z - 1}}{8}\)
C.\(\dfrac{{x + 1}}{{ - 3}} = \dfrac{{y - 3}}{{ - 4}} = \dfrac{z}{8}\)
D.\(\dfrac{{x - 1}}{{ - 3}} = \dfrac{{y - 3}}{{ - 4}} = \dfrac{z}{8}\)

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(\left( {m - 5} \right){9^x} + \left( {2m - 2} \right){6^x} + \left( {1 - m} \right){4^x} = 0\) có hai nghiệm phân biệt?
A.4
B.2
C.3
D.1

Cho hàm số \(y = - {x^3} + 4{x^2} + 1\) có đồ thị là \(\left( C \right)\) và điểm \(M\left( {m;1} \right)\). Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị thực của \(m\) để qua \(M\) kẻ được đúng 2 tiếp tuyến đến đồ thị \(\left( C \right)\). Tổng giá trị tất cả các phần tử của \(S\) bằng:
A.\(5\)
B.\(\dfrac{{40}}{9}\)
C.\(\dfrac{{16}}{9}\)
D.\(\dfrac{{20}}{3}\)

Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(I\left( {1;0;2} \right)\) và đường thẳng \(d:\,\,\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{y}{{ - 1}} = \dfrac{z}{1}\). Gọi \(\left( S \right)\) là mặt cầu có tâm \(I\), tiếp xúc với đường thẳng \(d\). Bán kính của \(\left( S \right)\) bằng:
A.\(\dfrac{5}{3}\)
B.\(\dfrac{{2\sqrt 5 }}{3}\)
C.\(\dfrac{{4\sqrt 2 }}{3}\)
D.\(\dfrac{{\sqrt {30} }}{3}\)

Điện năng được truyền từ một trạm tăng áp đến nơi tiêu thụ bằng đường dây tải điện một pha. Biết máy biến áp của trạm tăng áp là lý tưởng, có tỉ số giữa số vòng dây của cuộn thứ cấp và số vòng dây của cuộn sơ cấp là k. Coi chỉ có hao phí trên đường dây là đáng kể và điện áp cùng pha với dòng điện. Khi k = 10 thì hiệu suất truyền tải là 80 %. Khi công suất tiêu thụ điện tăng 20 % và k = 18 thì hiệu suất truyền tải gần giá trị nào nhất?
A.84 %                       
B.98%                        
C.94%                        
 
D.88%