Cho hàm số \(y= \frac{1}{3}{{x}^{3}}+2{{ \text{x}}^{2}}- \left( m+1 \right)x+5 \), nghịch biến trên \( \left[ -1;1 \right] \). Giá trị nhỏ nhất có thể được của m là: A.5 B.4 C.-4 D.-1
Đáp án đúng: B Giải chi tiết:Ta có \(y'={{x}^{2}}+4x-\left( m+1 \right).\) Do hàm số nghịch biến trên \(\left[ -1,1 \right]\) nên ta phải có \(y'\le 0,\,\,\forall x\in \left[ -1,1 \right]\Leftrightarrow {{x}^{2}}+4x-\left( m+1 \right)\le 0,\,\,\forall x\in \left[ -1,1 \right]\Leftrightarrow {{x}^{2}}+4x-1\le m,\,\,\forall x\in \left[ -1,1 \right].\) Xét hàm số \(f\left( x \right)={{x}^{2}}+4x-1\) trên \(\left[ -1,1 \right].\) Ta có \(f'\left( x \right)=2x+4=2\left( x+1 \right)+2\ge 2>0,\,\,\forall x\in \left[ -1,1 \right].\) Do đó \(f\) đồng biến trên \(\left[ -1,1 \right].\) Vì vậy \(f\left( x \right)\le f\left( 1 \right)=4.\) Như vậy để \({{x}^{2}}+4x-1\le m,\,\forall x\in \left[ -1,1 \right]\) thì \(m\ge f\left( 1 \right)=4.\) Vậy giá trị nhỏ nhất của \(m\) là \(4.\) Chọn đáp án B.