Thể tích khối tứ diện đều cạnh \(a \sqrt 3 \) bằng: A.\(\frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{8}\) B.\(\frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{6}\) C. \(\frac{{3{a^3}\sqrt 2 }}{8}\) D.\(\frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{4}\)
Đáp án đúng: D Giải chi tiết: Gọi H là trọng tâm của tam giác BCD ta có \(AH \bot \left( {BCD} \right)\) Khi đó ta có: \({V_{ABCD}} = \frac{1}{3}AH.{S_{BCD}}\) Ta có: \({S_{BCD}} = \frac{{{{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{3\sqrt 3 {a^2}}}{4}\) Gọi M là giao điểm của BH với CD ta có: \(BM = \frac{{a\sqrt 3 .\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3a}}{2}\) Khi đó ta có: \(BH = \frac{2}{3}BM = \frac{2}{3}.\frac{{3a}}{2} = a\) Xét tam giác vuông ABH vuông tại H ta có: \(A{H^2} = A{B^2} - B{H^2} = 3{a^2} - {a^2} = 2{a^2} \Rightarrow AH = a\sqrt 2 \) Vậy \({V_{ABCD}} = \frac{1}{3}AH.{S_{BCD}} = \frac{1}{3}a\sqrt 2 .\frac{{3\sqrt 3 {a^2}}}{4} = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{4}\) Chọn đáp án D.