Đáp án:
GTLN của hàm số là $\dfrac{1}{4}$, đạt tại $x = -\dfrac{\pi}{4} + \arctan (\dfrac{1}{2\sqrt{2}}) + 2k\pi$ hoặc $x = \dfrac{3\pi}{4} - \arctan(\dfrac{1}{2\sqrt{2}}) + 2k\pi$
GTNN của hàm số là $-2-\sqrt{2}$ đạt được khi $x = -\dfrac{3\pi}{4} + 2k\pi$
Lời giải:
Ta đặt $t = \sin x + \cos x$, khi đó $t = \sqrt{2} \sin(x + \dfrac{\pi}{4})$. Vậy $t \in [-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$ và
$t^2 = \sin^2x + \cos^2x + 2\sin x \cos x$
$\Leftrightarrow t^2 = 1 + \sin(2x)$
$\Leftrightarrow \sin(2x) = 1 - t^2$.
Thay vào hso ta có
$y = t + (1-t^2) - 1$
$\Leftrightarrow y = -t^2 + t$
Hàm bậc 2 này có đồ thị là một Parabol úp xuống, với tọa độ đỉnh là $(\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{4})$.
Ta xét
$y(-\sqrt{2}) = -2-\sqrt{2}, y(\sqrt{2}) = -2 + \sqrt{2}$
Ta thấy $y(-\sqrt{2}) < y(\sqrt{2}) < y(\dfrac{1}{2})$
Vậy GTLN của hàm số là tại $t = \dfrac{1}{2}$ và GTNN của hàm số đạt tại $t = -\sqrt{2}$
Với $t = \dfrac{1}{2}$, ta suy ra $\sqrt{2} \sin(x + \dfrac{\pi}{4}) = \dfrac{1}{2}$
Vậy $\sin(x + \dfrac{\pi}{4}) = \dfrac{1}{2\sqrt{2}}$
Do đó $x = -\dfrac{\pi}{4} + \arctan (\dfrac{1}{2\sqrt{2}}) + 2k\pi$ hoặc $x = \dfrac{3\pi}{4} - \arctan(\dfrac{1}{2\sqrt{2}}) + 2k\pi$
Với $t = -\sqrt{2}$, ta suy ra $\sin(x + \dfrac{\pi}{4} = -1$
Vậy $x = -\dfrac{3\pi}{4} + 2k\pi$.
Vậy GTLN của hàm số là $\dfrac{1}{4}$, đạt tại $x = -\dfrac{\pi}{4} + \arctan (\dfrac{1}{2\sqrt{2}}) + 2k\pi$ hoặc $x = \dfrac{3\pi}{4} - \arctan(\dfrac{1}{2\sqrt{2}}) + 2k\pi$
Và GTNN của hàm số là $-2-\sqrt{2}$ đạt được khi $x = -\dfrac{3\pi}{4} + 2k\pi$.
