$x^2+2(m+1)x+2m^2-m-3=0$ (*)
$\Delta'=(m+1)^2-2m^2+m+3$
$=m^2+2m+1-2m^2+m+3$
$=-m^2+3m+4$
Phương trình (*) có nghiệm khi $m≤-1$ hoặc $m≥4$
Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:
$\begin{cases}x_1+x_2=-2(m+1)\\x_1.x_2=-m-3\end{cases}$
$⇔\begin{cases}x_1+x_2=-2m-2\,\,(1)\\x_1.x_2=-m-3\,\,(2)\end{cases}$
Kết hợp phương trình (1) với phương trình $2x_1-x_2=m+5$ ta có hệ phương trình:
$\begin{cases}x_1+x_2=-2m-2\\2x_1-x_2=m+5\end{cases}$
$⇔\begin{cases}3x_1=-m+3\\x_1+x_2=-2m-2\end{cases}$
$⇔\begin{cases}x_1=\dfrac{-m+3}{3}\\\dfrac{-m+3}{3}+x_2=-2m-2\end{cases}$
$⇔\begin{cases}x_1=\dfrac{-m+3}{3}\\x_2=\dfrac{-6m-6+m-3}{3}\end{cases}$
$⇔\begin{cases}x_1=\dfrac{-m+3}{3}\\x_2=\dfrac{-5m-9}{3}\end{cases}$
Thay $x_1=\dfrac{-m+3}{3}$, $x_2=\dfrac{-5m-9}{3}$ vào phương trình (2) ta được:
$\dfrac{-m+3}{3}.\dfrac{-5m-9}{3}=-m-3$
$⇔\dfrac{(-m+3)(-5m-9)}{9}=-m-3$
$⇔5m^2-6m-27=-9m-27$
$⇔5m^2+3m=0$
$⇔m(5m+3)=0$
\(⇔\left[ \begin{array}{l}m=0\\5m+3=0\end{array} \right.\)
\(⇔\left[ \begin{array}{l}m=0(tm)\\m=\dfrac{-3}{5}(tm)\end{array} \right.\)
Vậy với $m=0$ hoặc $m=\dfrac{-3}{5}$ thì phương trình (*) có 2 nghiệm thỏa mãn $2x_1-x_2=m+5$
