Lời giải:
a. Xét tam giác ABC có M là trung điểm của AB, N là trung điểm của BC
Suy ra: MN là đường trung bình thuộc cạnh AC của tam giác ABC
⇔ MN//AC (1) và MN = $\frac{1}{2}$ AC
Xét tam giác ACD có Q là trung điểm của AD, P là trung điểm của CD
Suy ra: PQ là đường trung bình thuộc cạnh AC của tam giác ACD
⇔ PQ//AC (2) và PQ = $\frac{1}{2}$ AC
Từ (1) và (2) ⇒ MN//AC//PQ (3)
b. Chứng minh tương tự câu a ta có:
MQ//NP//BD (4) và và MQ = $\frac{1}{2}$ BD
Từ (3) và (4) suy ra: MNPQ là hình bình hành. (*)
Lại có: ABCD là hình thang cân (gt)
Suy ra: Hai đường chéo AC và BD bằng nhau
Mà MN = $\frac{1}{2}$ AC, MQ = $\frac{1}{2}$ BD (chứng minh trên)
⇒ MN = MQ (**)
Từ (*) và (**) ⇒ MNPQ là hình thoi.
