Số hạng không chứa x trong khai triển của \({{ \left( \sqrt[3]{x}- \frac{2}{ \sqrt[4]{x}} \right)}^{14}} \) với \(x>0 \) là: A. \({{2}^{6}}C_{14}^{8}\) B. \({{2}^{6}}C_{14}^{6}\) C.\({{2}^{8}}C_{14}^{6}\) D.\(-{{2}^{8}}C_{14}^{8}\)
Đáp án đúng: C Giải chi tiết:Ta có: \({{\left( \sqrt[3]{x}-\frac{2}{\sqrt[4]{x}} \right)}^{14}}={{\sum\limits_{k=0}^{14}{C_{14}^{k}{{\left( \sqrt[3]{x} \right)}^{14-k}}.\left( -\frac{2}{\sqrt[4]{x}} \right)}}^{k}}=\sum\limits_{k=0}^{14}{C_{14}^{k}{{\left( -2 \right)}^{k}}{{x}^{\frac{14-k}{3}}}.{{x}^{-\frac{k}{4}}}=}\sum\limits_{k=0}^{14}{C_{14}^{k}{{\left( -2 \right)}^{k}}{{x}^{\frac{14}{3}-\frac{7k}{12}}}.}\) (với \(0\le k\le 14;\,\,k\in N\)). Để có số hạng không chứa x trong khai triển thì : \(\frac{14}{3}-\frac{7k}{12}=0\Leftrightarrow k=8\,\,\,\left( tm \right).\) Vậy số hạng không chứa x trong khai triển là: \({{\left( -2 \right)}^{8}}C_{14}^{8}={{2}^{8}}C_{14}^{8}={{2}^{8}}C_{14}^{6}.\) Chọn C.