Đáp án đúng: C
Giải chi tiết:Ta có: \(f\left( { - x} \right) = \left| {{{\left( { - x} \right)}^3}} \right| - 3{\left( { - x} \right)^2} + 1 = \left| {{x^3}} \right| - 3{x^2} + 1 = f\left( x \right) \Rightarrow f\left( x \right)\) là hàm chẵn.
Vì hàm số đã cho là hàm số chẵn nên đồ thị \(\left( C \right)\) của nó đối xứng qua \(Oy\). Do đó từ điểm \(A\) trên trục \(Oy\) nếu kẻ được một tiếp tuyến \(d\) đến \(\left( C \right)\) thì ảnh của \(d\) qua phép đối xứng trục \(Oy\) cũng là một tiếp tuyến của \(\left( C \right)\).
Vậy để qua điểm \(A\) trên trục \(Oy\) có thể kẻ đến \(\left( C \right)\) đúng ba tiếp tuyến thì điều kiện cần là có một tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) qua \(A\) mà tiếp tuyến này vuông góc với \(Oy\), tức là tiếp tuyến này có hệ số góc bằng \(0\).
Ta có: \(y = \left\{ \begin{array}{l}{x^3} - 3{x^2} + 1{\rm{ }}\,\,\,\,\,{\rm{khi }}\,\,\,x \ge 0\\ - {x^3} - 3{x^2} + 1{\rm{ }}\,\,{\rm{khi }}\,\,\,x < 0\end{array} \right. \Rightarrow y' = \left\{ \begin{array}{l}3{x^2} - 6x{\rm{ }}\,\,\,\,\,{\rm{khi }}\,\,\,x > 0\\ - 3{x^2} - 6x{\rm{ }}\,\,{\rm{khi }}\,\,x < 0\end{array} \right..\)
Mặt khác: \(\left\{ \begin{array}{l}y'\left( {{0^ + }} \right) = 0\\y'\left( {{0^ - }} \right) = 0\end{array} \right. \Rightarrow y'\left( 0 \right) = 0.\)
Lại có: \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\3{x^2} - 6x = 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x < 0\\ - 3{x^2} - 6x = 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\;\;\; \Rightarrow y\left( 2 \right) = - 3.\\x = - 2\;\; \Rightarrow y\left( { - 2} \right) = - 3.\end{array} \right.\)
Từ đó ta thấy có hai tiếp tuyến có hệ số góc bằng \(0\) là \(d & :y = 1\) và \(d':y = - 3\). Và \(d\) cắt \(Oy\) tại \(A = \left( {0;1} \right)\), \(d'\) cắt \(Oy\) tại \(A' = \left( {0; - 3} \right)\).
Ta viết phương trình các tiếp tuyến kẻ từ \(A = \left( {0;1} \right)\) đến nhánh bên phải \(Oy\) của \(\left( C \right)\).
Xét hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}k = 3{x^2} - 6x\\{x^3} - 3{x^2} + 1 = kx + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\k = 0\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{3}{2}\\k = - \frac{9}{4}\end{array} \right.\)
Vậy từ \(A = \left( {0;1} \right)\) kẻ được hai tiếp tuyến đến nhánh bên phải \(Oy\) của \(\left( C \right)\), trong đó có một tiếp tuyến vuông góc với \(Oy\) và một tiếp tuyến không vuông góc với \(Oy\). Suy ra từ \(A = \left( {0;1} \right)\) kẻ được \(3\) tiếp tuyến đến \(\left( C \right)\).
Ta viết phương trình các tiếp tuyến kẻ từ \(A' = \left( {0; - 3} \right)\) đến nhánh bên phải \(Oy\) của \(\left( C \right)\).
Xét hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}k = 3{x^2} - 6x\\{x^3} - 3{x^2} + 1 = kx - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\k = 0\end{array} \right.\).
Vậy từ \(A' = \left( {0; - 3} \right)\) kẻ được một tiếp tuyến duy nhất đến nhánh bên phải \(Oy\) của \(\left( C \right)\) mà tiếp tuyến này vuông góc với \(Oy\). Suy ra từ \(A' = \left( {0; - 3} \right)\) kẻ được một tiếp tuyến duy nhất đến \(\left( C \right)\).
Vậy \(A = \left( {0;1} \right)\) là điểm duy nhất thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Chọn C
