Đáp án:
x = 1, y = 3
Giải thích các bước giải:
Ta có:
${x^2} + x + 3 > 0 \Rightarrow {x^4} + 2{x^3} + 2{x^2} + x + 3 > {x^4} + 2{x^3} + {x^2} = {({x^2} + x)^2}$
và $3{x^3} + 3x + 1 > 0 \Rightarrow {x^4} + 2{x^3} + 2{x^2} + x + 3 < {x^4} + 2{x^3} + 5{x^2} + 4x + 2 = {({x^2} + x + 2)^2}$
Suy ra: ${({x^2} + x)^2} < {y^2} < {({x^2} + x + 2)^2}$
Vì x, y nguyên dương nên ${y^2} = {({x^2} + x + 1)^2}$
Thay vào phương trình ban đầu:
$\eqalign{
& {x^4} + 2{x^3} + 2{x^2} - {({x^2} + x + 1)^2} + x + 3 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^4} + 2{x^3} + 2{x^2} - ({x^4} + 2{x^3} + 3{x^2} + 2x + 1) + x + 3 = 0 \cr
& \Leftrightarrow - {x^2} - 2x - 1 + x + 3 = 0 \cr
& \Leftrightarrow - {x^2} - x + 2 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ {\matrix{
{x = 1} \cr
{x = - 2} \cr
} } \right. \cr} $
Vì x nguyên dương nên x = 1
Khi đó: ${y^2} = {({x^4} + {x^2} + 1)^2} = {3^2}$
Vì y nguyên dương nên y = 3.
