Giải thích các bước giải:
a) Ta có:
Xét hình thang $BEFC$ có:
$ON//BE//CF$ và $O$ là trung điểm của $EF$.
$\to N$ là trung điểm của $BC$ và $ON$ là đường trung bình của hình thang $BEFC$
$\begin{array}{l}
\to ON = \dfrac{1}{2}\left( {BE + CF} \right)\\
\to ON = \dfrac{1}{4}\left( {AB + CD} \right)
\end{array}$
Tương tự với hinh thang $AEFD$ ta có: $M$ là trung điểm của $AD$ và $OM = \dfrac{1}{4}\left( {AB + CD} \right)$
Như vậy $ \to OM = ON$
$\to O$ là trung điểm của $MN$.
Mặt khác: $O$ là trung điểm của $EF$ và $EF\cap MN=O$
$\to EMFN$ là hình bình hành.
b) Ta có:
$EMFN$ là hình thoi
$ \Leftrightarrow EF \bot MN = O$
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow EF \bot CD = F\\
\Rightarrow \widehat {OFC} = \widehat {OFD} = {90^0}\\
\Rightarrow \widehat {NFC} = \widehat {MFD}\left( {\widehat {OFN} = \widehat {OFM}} \right)
\end{array}$
Lại có: $EMFN$ là hình thoi $\to NF=MF$
Khi đó:
$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
NF = MF\\
\widehat {NFC} = \widehat {MFD}\\
FC = FD
\end{array} \right. \Rightarrow \Delta NFC \sim \Delta MFD\left( {g.g} \right)\\
\Rightarrow \widehat {NCF} = \widehat {MDF}\\
\Rightarrow \widehat {BCD} = \widehat {ADC}
\end{array}$
$\to ABCD$ là hình thang cân.
c)
Ta có:
Hình $EMFN$ là hình vuông khi và chỉ khi $EMFN$ là hình thoi và $EF=MN$
$\to EMFN$ là hình thang cân và $EF = \dfrac{1}{4}\left( {AB + CD} \right)$
