Giải thích các bước giải:
Giả sử hai số 7n+10 và 5n+7 không nguyên tố cùng nhau
Gọi UCLN của 2 số là d(d>1,d∈N)
\(\begin{array}{l}
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
7n + 10 \vdots d\\
5n + 7 \vdots d
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
(5n + 7) + (2n + 3) \vdots d\\
5n + 7 \vdots d
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2n + 3 \vdots d\\
5n + 7 \vdots d
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3(2n + 3) \vdots d\\
5n + 7 \vdots d
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
6n + 9 \vdots d\\
5n + 7 \vdots d
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
5n + 7 + n + 2 \vdots d\\
5n + 7 \vdots d
\end{array} \right.\\
\Rightarrow n + 2 \vdots d\\
\Rightarrow 2(n + 2) \vdots d\\
\Leftrightarrow 2n + 4 \vdots d\\
2n + 3 \vdots d \Rightarrow (2n + 4) - (2n + 3) \vdots d\\
\Rightarrow 1 \vdots d \Rightarrow d = 1
\end{array}\)
Mà d>1
⇒Giả sử là sai
⇒đpcm
