Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi cạnh \(a\) và \(SA=SB=SC=a\). Thể tích lớn nhất của khối chóp \(S.ABCD\) là:A. \(\frac{{{a}^{3}}}{4}\) B. \(\frac{3{{a}^{3}}}{8}\) C. \(\frac{{{a}^{3}}}{8}\)

phanminhhieu7749

2 năm trước

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi cạnh \(a\) và \(SA=SB=SC=a\). Thể tích lớn nhất của khối chóp \(S.ABCD\) là:
A. \(\frac{{{a}^{3}}}{4}\)
B. \(\frac{3{{a}^{3}}}{8}\)
C. \(\frac{{{a}^{3}}}{8}\)
D. \(\frac{{{a}^{3}}}{2}\)

Loga Hóa Học lớp 12

0 lượt thích 32 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

tanninh89

Đáp án đúng: A
Giải chi tiết:
Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\), \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\).
Qua \(M\) kẻ đường thẳng vuông góc với \(AB\) và cắt \(BO\) tại\(H\).
Khi đó \(H\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\).
Vì \(SA=SB=SC\) nên \(SH\bot \left( ABC \right)\).
Đặt \(\widehat{ABC}=\alpha \) ta có:
\(\begin{align} & A{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}-2.AB.BC.\cos \alpha \ & ={{a}^{2}}+{{a}^{2}}-2{{a}^{2}}\cos \alpha =2{{a}^{2}}\left( 1-\cos \alpha \right) \ & \Rightarrow A{{O}^{2}}=\frac{A{{C}^{2}}}{4}=\frac{{{a}^{2}}\left( 1-\cos \alpha \right)}{2} \ \end{align}\)
Tam giác \(AOB\) vuông tại \(O\) nên:\(O{{B}^{2}}=A{{B}^{2}}-A{{O}^{2}}={{a}^{2}}-\frac{{{a}^{2}}\left( 1-\cos \alpha \right)}{2}=\frac{{{a}^{2}}\left( 1+\cos \alpha \right)}{2}\)
Xét tam giác \(\Delta BHM\sim \Delta BAO\left( g.g \right)\) nên \(\frac{MH}{AO}=\frac{BM}{BO}\Rightarrow MH=\frac{AO.BM}{BO}\)
\(\Rightarrow M{{H}^{2}}=\frac{A{{O}^{2}}.B{{M}^{2}}}{B{{O}^{2}}}=\frac{\frac{{{a}^{2}}\left( 1-\cos \alpha \right)}{2}.\frac{{{a}^{2}}}{4}}{\frac{{{a}^{2}}\left( 1+\cos \alpha \right)}{2}}=\frac{{{a}^{2}}\left( 1-\cos \alpha \right)}{4\left( 1+\cos \alpha \right)}\)
Tam giác \(SMH\) vuông tại \(H\) có \(S{{H}^{2}}=S{{M}^{2}}-M{{H}^{2}}=\frac{3{{a}^{2}}}{4}-\frac{{{a}^{2}}\left( 1-\cos \alpha \right)}{4\left( 1+\cos \alpha \right)}=\frac{{{a}^{2}}}{4}\left( 3-\frac{1-\cos \alpha }{1+\cos \alpha } \right)=\frac{{{a}^{2}}}{4}.\frac{2+4\cos \alpha }{1+\cos \alpha }=\frac{{{a}^{2}}\left( 1+2\cos \alpha \right)}{2\left( 1+\cos \alpha \right)}\)
\({{S}_{ABCD}}=2{{S}_{ABC}}=BO.AC\Rightarrow S_{ABCD}^{2}=B{{O}^{2}}.A{{C}^{2}}=\frac{{{a}^{2}}\left( 1+\cos \alpha \right)}{2}.2{{a}^{2}}\left( 1-\cos \alpha \right)={{a}^{4}}\left( 1+\cos \alpha \right)\left( 1-\cos \alpha \right)\)
\(\begin{align} & \Rightarrow {{V}_{S.ABCD}}=\frac{1}{3}{{S}_{ABCD}}.SH \ & \Rightarrow V_{S.ABCD}^{2}=\frac{1}{9}S_{ABCD}^{2}.S{{H}^{2}}=\frac{1}{9}{{a}^{4}}\left( 1+\cos \alpha \right)\left( 1-\cos \alpha \right).\frac{{{a}^{2}}\left( 1+2\cos \alpha \right)}{2\left( 1+\cos \alpha \right)}=\frac{{{a}^{6}}\left( 1-\cos \alpha \right)\left( 1+2\cos \alpha \right)}{18} \ \end{align}\)
Đặt \(t=\cos \alpha \left( t\in \left[ -1;1 \right] \right)\) và xét hàm \(f\left( t \right)=\left( 1-t \right)\left( 1+2t \right)=-2{{t}^{2}}+t+1\) trên \(\left[ -1;1 \right]\) có:
Hàm bậc hai \(f\left( t \right)=-2{{t}^{2}}+t+1\) có đồ thị là parabol với bề lõm hướng xuống dưới.
Do đó nó đạt GTLN tại \(t=\frac{1}{4}\) và \(\underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\max }}\,f\left( t \right)=f\left( \frac{1}{4} \right)=\frac{9}{8}\).
Khi đó \(V_{\max }^{2}=\frac{{{a}^{6}}}{18}.\frac{9}{8}=\frac{{{a}^{6}}}{16}\Rightarrow V=\frac{{{a}^{3}}}{4}\)
Chọn A.

Vote (0) Phản hồi (0) 2 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Nguyên nhân làm cho tính trạng do gen nằm trong tế bào chất di truyền theo một cách thức rất đặc biệt là
A.Gen nằm trong tế bào chất ở giao tử cái luôn ở trạng thái trội hơn so với gen trong tế bào chất của giao tử đực.
B.ADN trong tế bào chất thường là mạch vòng.
C. Giao tử cái góp lượng gen trong tế bào chất nhiều hơn gen trong tế bào chất của giao tử đực.
D.Giao tử đực không góp gen nằm trong tế bào chất cho hợp tử.

Cho hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}mx + (m + 2)y = 5\\x + my = 2m + 3\end{array} \right.\). Để hệ phương trình có duy nhất 1 cặp nghiệm âm, giá trị cần tìm của tham số m là:
A.\(\left[ \begin{array}{l}m \frac{5}{2}\end{array} \right.\)
B. 2 < m < \(\frac{5}{2}\)
C.\(\left[ \begin{array}{l}m - 2\end{array} \right.\)
D.-\(\frac{5}{2}\)< m < -1

Điều kiện nào sau đây KHÔNG PHẢI điều kiện cần cho hạt nảy mầm:
A.Nhiệt độ
B.Độ ẩm
C.Ánh sáng
D.Không khí

Chứng minh tứ giác BCMD nội tiếp được một đường tròn.
A.#VALUE!
B.#VALUE!
C.#VALUE!
D.#VALUE!

Điện trở của dây dẫn thay đổi như thế nào nếu chiều dài dây dẫn tăng lên 2 lần?
A.Tăng lên 4 lần.
B.Giảm đi 4 lần.
C.Tăng lên 2 lần.
D.Giảm đi 2 lần

Bản chất dòng điện trong chất khí là:
A.Dòng chuyển dời có hướng của các iôn dương theo chiều điện trường và các iôn âm, electron ngược chiều điện trường.
B.Dòng chuyển dời có hướng của các iôn dương theo chiều điện trường và các iôn âm ngược chiều điện trường.
C.Dòng chuyển dời có hướng của các iôn dương theo chiều điện trường và các electron ngược chiều điện trường.
D.Dòng chuyển dời có hướng của các electron theo ngược chiều điện trường.

Phản ứng nào sau đây có thể chuyển glucozơ, fructozơ thành những sản phẩm giống nhau?
A.Phản ứng với H2/Ni, nhiệt độ.
B.Phản ứng với AgNO3/dd NH3.
C.Phản ứng với Cu(OH)2.
D.Phản ứng với Na.

Nhỏ dung dịch iot lên miếng chuối xanh thấy xuất hiện màu xanh tím là do chuối xanh có chứa
A.glucozơ.
B.saccarozơ.
C.tinh bột.
D.xenlulozơ.

Các chất có cấu tạo và tính chất hóa học tương tự nhau, trong thành phần phân tử hơn kém nhau một hay nhiều nhóm metylen (-CH2-) được gọi là
A.đồng phân
B.đồng khối
C.đồng vị
D.đồng đẳng

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm \(I\left( {2;3} \right)\) và đường thẳng \(\Delta :3x - 4y - 4 = 0\). Tính khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng \(\Delta \) và lập phương trình đường tròn tâm I tiếp xúc với đường thẳng \(\Delta \).
A.\(d\left( {I;\Delta } \right) = \sqrt 2 \,\,;\,\,{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 2\)
B.\(d\left( {I;\Delta } \right) = 2\,\,;\,\,{\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 4\)
C.\(d\left( {I;\Delta } \right) = 2\,\,;\,\,{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 4\)
D.\(d\left( {I;\Delta } \right) = \sqrt 2 \,\,;\,\,{\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 2\)

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến