Cho tam giác ABC có AM là đường trung tuyến, N là điểm trên đoạn thẳng AM. Gọi D là giao điểm của CN và AB, E là giao điểm của BN và AC. Chứng minh rằng: \(\frac{{AD}}{{BD}} = \frac{{AE}}{{CE}}\) A. B. C. D.
Đáp án đúng: Giải chi tiết: Kẻ đường thẳng đi qua A song song với BC lần lượt cắt CD và BE tại B’ và C’. Vì M là trung điểm của BC nên BM = MC. Vì AB’ // MC, áp dụng định lý Talet ta có: \(\frac{{AN}}{{NM}} = \frac{{AB'}}{{MC}}\) (1) Vì AC’ // MB, áp dụng định lý Talet ta có: \(\frac{{AN}}{{NM}} = \frac{{AC'}}{{BM}}\) (2) Từ (1) và (2) ta có: \(\frac{{AB'}}{{MC}} = \frac{{AC'}}{{BM}}\) Ta có M là trung điểm của BC \( \Rightarrow BM = MC \Rightarrow AB' = AC'\) (*) Vì AB’// BC, áp dụng định lý Talet ta có: \(\frac{{AD}}{{DB}} = \frac{{AB'}}{{BC}}\) (**) Vì AC’// BC, áp dụng định lý Talet ta có: \(\frac{{AE}}{{EC}} = \frac{{AC'}}{{BC}}\) (***) Từ (*), (**) và (***) ta có: \(\frac{{AD}}{{DB}} = \frac{{AB'}}{{BC}} = \frac{{AE}}{{EC}} = \frac{{AC'}}{{BC}}\) \( \Rightarrow \frac{{AD}}{{DB}} = \frac{{AE}}{{EC}} \Leftrightarrow \frac{{AD}}{{BD}} = \frac{{AE}}{{CE}}\) (Điều phải chứng minh) Chú ý:- Học sinh nên so sánh, phân tích, tổng hợp, vận dụng…các kiến thức đã được học để suy nghĩ hướng giải bài toán. - Nếu học sinh không nghĩ ra hướng giải theo các cách bình thườngthì nên suy nghĩ theo hướng mới như kẻ thêm hìnhgiúp xuất hiện các dữ kiện mới để giải bài toán.