Đáp án đúng:
Giải chi tiết:
1) Chứng minh rằng năm điểm \(A,\,\,F,\,\,O,\,\,G,\,\,E\) cùng nằm trên một đường tròn.
Đường tròn \(\left( O \right)\) nội tiếp hình vuông \(ABCD \Rightarrow AC \cap BD = \left\{ O \right\}.\)
Lại có: \(\left( O \right) \cap AB = \left\{ E \right\},\,\,\,\left( O \right) \cap AD = \left\{ F \right\} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}OE \bot AB = \left\{ E \right\}\\OF \bot AD = \left\{ F \right\}\end{array} \right.\) (tính chất tiếp tuyến của đường tròn).
Xét tứ giác \(AEOF\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\angle EAF = \angle AEO = \angle AFO = {90^0}\\AE = AF = \frac{1}{2}AB\end{array} \right. \Rightarrow AEOF\) là hình vuông (dhnb).
\( \Rightarrow AEOF\) là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính \(EF.\) (dhnb) (1)
Xét \(\Delta ABF\) và \(\Delta BCE\) ta có:
\(AB = BC\) (do \(ABCD\) là hình vuông)
\(\begin{array}{l}\angle BAF = \angle EBC = {90^0}\\BE = AF\,\,\,\left( { = \frac{1}{2}AB} \right)\\ \Rightarrow \Delta ABF = \Delta BCF\,\,\left( {c - g - c} \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow \angle ABF = \angle BCE\) (hai góc tương ứng)
Lại có: \(\angle BCE + \angle BEC = {90^0}\,\) (do \(\Delta EBC\) vuông tại\(B\))
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \angle BEC + \angle ABF = {90^0}\,\,\,\,hay\,\,\,\angle BEC + \angle EBG = {90^0}\,\\ \Rightarrow \angle EGB = {90^0}\,\,\,hay\,\,\,EC \bot BF = \left\{ G \right\}.\end{array}\)
Xét \(AEGF\) có: \(\angle EAF + \angle EGF = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)
\( \Rightarrow AEGF\) là tứ giác nội tiếp. (tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\)) (2)
Từ (1) và (2) suy ra các điểm \(A,\,\,E,\,\,\,G,\,\,O,\,\,F\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(EF.\) (đpcm)
2) Gọi giao điểm \(FB\) và đường tròn \(\left( O \right)\) là \(M\,\,\,\left( {M \ne F} \right).\) Chứng minh \(M\) là trung điểm của đoạn thẳng \(BG.\)
Ta có: \(\angle EMF = \angle AEF\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung EF)
Mà \(AEOF\) là hình vuông (cmt) \( \Rightarrow \angle AEF = {45^0}\) (tính chất hình vuông)
\( \Rightarrow \angle EMF = {45^0}\,\,\,\,hay\,\,\,\angle EMG = {45^0}\)
\( \Rightarrow \Delta EMG\) là tam giác vuông cân tại \(G \Rightarrow EG = GM\) (tính chất tam giác cân).
Xét \(\Delta ABF\) ta có: \(\tan \angle ABF = \frac{{AF}}{{AB}} = \frac{1}{2}.\)
Xét \(\Delta EBG\) ta có: \(\tan EBG = \frac{{EG}}{{BG}} \Rightarrow \frac{{EG}}{{BG}} = \frac{1}{2} \Rightarrow EG = \frac{1}{2}BG\)
Mà \(EG = MG\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow MG = \frac{1}{2}BG \Rightarrow M\) là trung điểm của \(BG.\) (đpcm).
3) Chứng minh rằng trực tâm tam giác \(GAF\) nằm trên đường tròn \(\left( O \right).\)
