Đáp án đúng:
Giải chi tiết:
a) Chứng minh các tứ giác \(BCDE\) và \(AMON\) nội tiếp.
Xét tứ giác \(BCDE\) có: \(\angle BEC = \angle BDC = {90^0}\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow \) Tứ giác \(BCDE\) là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có 2 đỉnh kề  nhau cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau).
Ta có: \(M\) là trung điểm của \(AB\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow OM \bot AB \Rightarrow \angle OMA = {90^0}\) (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung).
Tương tự: \(N\) là trung điểm của \(AC\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow ON \bot AC \Rightarrow \angle ONA = {90^0}\) (quan hệ vuông góc  giữa đường kính và dây cung).
Xét tứ giác \(AMON\) có: \(\angle OMA + \angle ONA = {90^0} + {90^0} = {180^0} \Rightarrow \) Tứ giác \(OMAN\) là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800).
b) Chứng minh \(AE.AM = AD.AN\).
Tứ giác \(BCDE\) nội tiếp (cmt) \( \Rightarrow \angle AED = \angle ACB\) (góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện).
Dễ thấy \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(ABC \Rightarrow MN//BC\).
\( \Rightarrow \angle ACB = \angle ANM\) (đồng vị) \( \Rightarrow \angle AED = \angle ANM\,\,\left( { =  \angle ACB} \right)\).
Xét tam giác \(AED\) và tam giác \(ANM\) có :
\(\angle EAN\) chung ;
\(\angle AED = \angle ANM\,\,\left( {cmt} \right);\)
\( \Rightarrow \Delta AED \sim \Delta ANM\,\,\left( {g.g} \right) \Rightarrow \frac{{AE}}{{AN}} = \frac{{AD}}{{AM}} \Rightarrow AE.AM = AD.AE\).
c) Gọi \(K\) là giao điểm của \(ED\) và \(MN,\,\,F\) là giao điểm của \(AO\) và \(MN\), \(I\) là giao điểm của \(ED\) và \(AH\). Chứng minh \(F\) là trực tâm tam giác \(KAI\).
Gọi \(P = OA \cap ED\) ; \(Q = MN \cap AH\).
\(H = BD \cap CE \Rightarrow H\) là trực tâm của tam giác \(ABC \Rightarrow AH \bot BC\).
Ta có \(MN//BC\,\,\left( {cmt} \right);\,\,AH \bot BC\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow MN \bot AH\) tại \(Q\).
Xét tam giác \(AMQ\) và tam giác \(AON\) có :
\(\angle AMQ = \angle AMN = \angle AON\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(AN\))
\(\angle AQM = \angle ANO = {90^0}\) ;
\( \Rightarrow \Delta AMQ \sim \Delta AON\,\,\left( {g.g} \right) \Rightarrow \angle MAQ = \angle OAN\) (hai góc tương ứng).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \angle MAQ - \angle QAO = \angle OAN - \angle QAO\\ \Rightarrow \angle OAM = \angle QAN \Rightarrow \angle PAE = \angle QAN\end{array}\)
Lại có \(\angle AED = \angle ANM\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow \angle AEP = \angle ANQ\)
\( \Rightarrow \angle PAE + \angle AEP = \angle QAN + \angle ANQ\).
Xét tam giác vuông \(AQN\) có :  \(\angle QAN + \angle ANQ = {90^0} \Rightarrow \angle PAE + \angle AEP = {90^0}\).
\( \Rightarrow \Delta APE\) vuông tại \(P \Rightarrow AP \bot PE\) hay \(FA \bot KI\) (1).
 Ta đã chứng minh \(MN \bot AH \Rightarrow FQ \bot AI\)  (2)
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \) \(F\) là giao điểm của 2 đường cao \(FA,\,\,FQ\) của tam giác \(KAI\).
Vậy \(F\) là trực tâm tam giác \(KAI\) (đpcm).