Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AB. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại E, F là hình chiếu vuông góc của E trên AB. a) Chứng minh tứ giác ADEF nội tiếp. b) Gọi N là giao điểm của CF và BD. Chứng minh \(BN.ED=BD.EN\) A. B. C. D.
Đáp án đúng: Giải chi tiết: a) Ta có\(\widehat{ADE}={{90}^{0}}\)(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn), \(\widehat{AFE}={{90}^{0}}\) (gt) \(\Rightarrow \widehat{ADE}+\widehat{AFE}={{180}^{0}}\) ⇒ Tứ giác ADFE là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({{180}^{0}}\)) b) Tương tự ta chứng minh được tứ giác BCEF là tứ giác nội tiếp Ta có: \(\widehat{ACD}=\widehat{ABD}\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung AD) \(\widehat{ACF}=\widehat{ABD}\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung EF) Suy ra \(\widehat{ACD}=\widehat{ACF}\) hay CA là tia phân giác trong của \(\widehat{DCF}\) \(\Rightarrow \frac{EN}{ED}=\frac{CN}{CD}\,\,\,\left( 1 \right)\) (tính chất phân giác) Mà AC ⊥ BC (\(\widehat{ACB}\) nội tiếp chắn nửa đường tròn) Suy ra CB là tia phân giác ngoài của \(\widehat{DCF}\) \(\Rightarrow \frac{BN}{BD}=\frac{CN}{CD}\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\) (tính chất phân giác) Từ (1) và (2)\(\Rightarrow \frac{EN}{ED}=\frac{BN}{BD}\Rightarrow BN.ED=BD.EN\) (đpcm)