Cho a,b,c là 3 số thức dương thỏa mãn a + b + c = 1/a + 1/b + 1/c . CMR

2( a + b + c) \(\ge\) \(\sqrt{a^2+3}+\sqrt{b^2+3}+\sqrt{c^2+3}\)

Giải:

Dễ thấy bđt cần cm tương đương với mỗi bđt trong dãy sau:

\(\left(2a-\sqrt{a^2+3}\right)+\left(2b-\sqrt{b^2+3}\right)+\left(2c-\sqrt{c^2+3}\right)\ge0\),

\(\dfrac{a^2-1}{2a+\sqrt{a^2+3}}+\dfrac{b^2-1}{2b+\sqrt{b^2+3}}+\dfrac{c^2-1}{2c+\sqrt{c^2+3}}\ge0\),

\(\dfrac{\dfrac{a^2-1}{a}}{2+\sqrt{1+\dfrac{3}{a^2}}}+\dfrac{\dfrac{b^2-1}{b}}{2+\sqrt{1+\dfrac{3}{b^2}}}+\dfrac{\dfrac{c^2-1}{c}}{2+\sqrt{1+\dfrac{3}{b^2}}}\ge0\)

Các bđt trên đầu mang tính đối xứng giữa các biến nên k mất tính tổng quát ta có thể giả sử \(a\ge b\ge c\)

=> \(\dfrac{a^2-1}{a}\ge\dfrac{b^2-1}{b}\ge\dfrac{c^2-1}{c}\)

và \(\dfrac{1}{2+\sqrt{1+\dfrac{3}{a^2}}}\ge\dfrac{1}{2+\sqrt{1+\dfrac{3}{b^2}}}\ge\dfrac{1}{2+\sqrt{1+\dfrac{3}{c^2}}}\)

Áp dụng bđt Chebyshev có:

\(\dfrac{\dfrac{a^2-1}{a}}{2+\sqrt{1+\dfrac{3}{a^2}}}+\dfrac{\dfrac{b^2-1}{b}}{2+\sqrt{1+\dfrac{3}{b^2}}}+\dfrac{\dfrac{c^2-1}{c}}{2+\sqrt{1+\dfrac{3}{c^2}}}\ge\dfrac{1}{3}\left(\sum\dfrac{a^2-1}{a}\right)\left(\sum\dfrac{1}{2+\sqrt{1+\dfrac{3}{a^2}}}\right)\)

Theo gia thiết lại có: \(\sum\dfrac{a^2-1}{a}=\left(a+b+c\right)-\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)=0\)

nên ta có thể suy ra \(\dfrac{\dfrac{a^2-1}{a}}{2+\sqrt{1+\dfrac{3}{a^2}}}+\dfrac{\dfrac{b^2-1}{b}}{2+\sqrt{1+\dfrac{3}{b^2}}}+\dfrac{\dfrac{c^2-1}{c}}{2+\sqrt{1+\dfrac{3}{c^2}}}\ge0\)

Vì vậy bđt đã cho ban đầu cũng đúng.

@Ace Legona

Cho phân số M = 3x -4 / x-3. Tìm các số nguyên x để M là một số nguyên

trong mp với hệ tọa độ oxy cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H . đường thẳng d có PT x+2y-1=0 đi qua H cắt AB , AC lần lượt tại P và Q sao cho HP =HQ . M(1,5) là trung điểm của BC biết A (2,6) và Q(1,0) . tìm tọa độ các đỉnh B,C

a. √(x2+12) + 5 = 3x + √(x2+5)

\(A=\left(-1,5\right)^22\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{6}+\left(\dfrac{4}{7}-\dfrac{2}{5}\right):1\dfrac{1}{35}\)

Tìm 1 số có 2 chữ số biết rằng nếu thêm 1 chữ số 2 vào bên phải và 1 chữ số 2 vào bên trái số đó thì ta được 1 số bằng 101 số cần tìm

giup mik vs đe bai la

1-x+1/3=x-1/2

Bài 1 . Tìm n để : n2 + 4n + 2013 là số chính phương

Chứng minh rằng:

\(\dfrac{1+cos\left(a\right)-sin\left(a\right)}{1-cos\left(a\right)-sin\left(a\right)}=-cot\left(\dfrac{a}{2}\right)\)

giup mik cau nay vs

-1/39+-1/52=

-6/9+-12/16=

-2/5--3/11=

-34/37x 74/-85=

-5/9:-7/18=

giup mik vs