Sorry , it's a mistake .
Đề bài : Cho a,b,c không âm . Chứng minh rằng :
\(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}+\dfrac{3}{a+b+c}\ge\dfrac{4}{\sqrt{ab+bc+ca}}\)
Lời giải:
Chuẩn hóa a+b+c=1.Áp dụng AM-GM ta được:
\(\dfrac{1}{ab+bc+ca}+4\ge2\sqrt{\dfrac{4}{ab+bc+ca}}=\dfrac{4}{\sqrt{ab+bc+ca}}\)
Do vậy ta chỉ cần đi chứng minh:
\(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}+\dfrac{3}{a+b+c}\ge\dfrac{1}{ab+bc+ca}+4\)
hay \(\sum\dfrac{a}{b+c}+6\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{ab+bc+ca}+4\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\ge\dfrac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}\)
\(\Leftrightarrow\sum\left[a\left(b+c\right)+bc\right].\dfrac{a}{b+c}\ge a^2+b^2+c^2\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+abc\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right)\ge a^2+b^2+c^2\)
Điều này luôn đúng do a,b,c không âm .Vậy ta có đpcm.
Dấu = xảy ra khi 1 số bằng 0 , 2 số còn lại bằng nhau.
P/s: nhờ ý tưởng of sir :V
