Đáp án:
$\left\{\begin{array}{I}x=-\dfrac{\pi}2+k2\pi\\x=\pi+k2\pi\end{array}\right. (k\in\mathbb Z)$
Giải thích các bước giải:
$\sin x+\cos x-2\sin x\cos x+1=0$ (*)
Đặt $t=\sin x+\cos x$ $-\sqrt2\le t\le\sqrt2$
$\sin x\cos x=\dfrac{t^2-1}2$
Phương trình (*) tương đương:
$t-(t^2-1)+1=0$
$\Leftrightarrow t^2-t-2=0$
$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{I}t=2\text{ (loại)}\\t=-1\text{ (nhận)}\end{array}\right.$
$\Rightarrow\sin x+\cos x=-1$
$\Rightarrow\sqrt2\sin\left({x+\dfrac{\pi}4}\right)=-1$
$\Leftrightarrow\sin\left({x+\dfrac{\pi}4}\right)=-\dfrac1{\sqrt2}$
$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{I}x+\dfrac{\pi}4=-\dfrac{\pi}4+k2\pi\\x+\dfrac{\pi}4=\pi+\dfrac{\pi}4+k2\pi\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{I}x=-\dfrac{\pi}2+k2\pi\\x=\pi+k2\pi\end{array}\right. (k\in\mathbb Z)$
Vậy phương trình có nghiệm:
$\left\{\begin{array}{I}x=-\dfrac{\pi}2+k2\pi\\x=\pi+k2\pi\end{array}\right. (k\in\mathbb Z)$.
