Đặt : \(\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{BB'}=\overrightarrow{b,}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{c}\)

Ta có : \(\overrightarrow{BD'}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\)

Do MM//BD' nên tồn tại số thực k sao cho \(\overrightarrow{MN}=k\overrightarrow{BD'}\)

hay :

\(\overrightarrow{MN}=k\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}+k\overrightarrow{c}\) (1)

Đặt

\(\frac{MC}{AC}=x,\frac{C'N}{C'D}=y;x,y\in\left(0;1\right)\)

Ta có :

\(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a,}\overrightarrow{C'D}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b,}\)

Suy ra : \(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CC'}+\overrightarrow{C'N}\)

\(=\overrightarrow{xAC}+\overrightarrow{CC'}+\overrightarrow{yC'N}\)

\(=x\left(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}\right)+\overrightarrow{b}+y\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)\)

\(=\left(y-x\right)\overrightarrow{a}+\left(1-y\right)\overrightarrow{b}+x\overrightarrow{c}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra :

\(k\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}+k\overrightarrow{c}=\left(y-x\right)\overrightarrow{a}+\left(1-y\right)\overrightarrow{b}+x\overrightarrow{c}\)

\(\Leftrightarrow\left(k+x-y\right)\overrightarrow{a}+\left(k+y-1\right)\overrightarrow{b}+\left(k-x\right)\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}\) (3)

Do \(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}\) không đồng phửng nên (3) tương đương với

\(\begin{cases}k+x-y=0\\k+y-1=0\\k-x=0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}x=\frac{1}{3}=k\\y=\frac{2}{3}\end{cases}\)

Vậy với \(3\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{AC,}3\overrightarrow{C'N}=2\overrightarrow{C'D}\)

thì MN//BD' và khi đó \(\frac{MN}{BD'}=\frac{1}{3}\)