Cho tứ diện $\displaystyle ABCD$ đều cạnh bằng$\displaystyle a$. Gọi$\displaystyle M$ là trung điểm$\displaystyle CD$,$\displaystyle \alpha $ là góc giữa$\displaystyle AC$ và$\displaystyle BM$. Chọn khẳng định đúng? A. B. C. D.
Chọn C. Gọi $\displaystyle ~O$ là trọng tâm của$\Delta BCD$$\Rightarrow AO\bot \left( BCD \right)$ Trên đường thẳng$d$ qua$C$ và song song$\displaystyle BM$ lấy điểm$\displaystyle N$ sao cho$\displaystyle BMCN$ là hình chữ nhật, từ đó suy ra:$\left( \widehat{AC,BM} \right)=\left( \widehat{AC,CN} \right)=\left( \widehat{ACN} \right)=\alpha $ Có:$CN=BM=\frac{\sqrt{3}}{2}a$ và$BN=CN=\frac{a}{2}$ $A{{O}^{2}}=A{{B}^{2}}-B{{O}^{2}}=A{{B}^{2}}-{{\left( \frac{2}{3}BM \right)}^{2}}=\frac{2}{3}{{a}^{2}}$ $O{{N}^{2}}=B{{N}^{2}}+B{{O}^{2}}=\frac{7}{12}{{a}^{2}}$ ;$AN=\sqrt{A{{O}^{2}}+O{{N}^{2}}}=\frac{\sqrt{5}}{2}a$$\Rightarrow \cos \alpha =\frac{A{{C}^{2}}+C{{N}^{2}}-A{{N}^{2}}}{2AC.CN}=\frac{\sqrt{3}}{6}$.