Đáp án:
a)
Do AB là tiếp tuyến của (O) nên: OB ⊥ AB
=> Tam giác OAB vuông tại O
Theo Pytago:
$\begin{array}{l}
O{B^2} + A{B^2} = O{A^2}\\
\Rightarrow A{B^2} = O{A^2} - O{B^2} = {\left( {2R} \right)^2} - {R^2} = 3{R^2}\\
\Rightarrow AB = R\sqrt 3
\end{array}$
b)
Xét tam giác OBC cân tại O có OH là đường cao
=> OH đồng thời là đường phân giác và trung tuyến
=> góc BOH = góc COH
Xét tam giác OAB và OAC có:
+)OB=OC
+) góc BOA= góc COA
+) OA chug
=> ΔOAB=ΔOAC (c-g-c)
=> góc OBA= góc OCA=90
=> AC⊥OC
=> AC là tiếp tuyến của (O)
c) Trong tam giác OAB có BH là đường cao
$\begin{array}{l}
\Rightarrow BH.OA = OB.AB\\
\Rightarrow BH = \frac{{OB.AB}}{{OA}} = \frac{{R.\sqrt 3 R}}{{2R}} = \frac{{\sqrt 3 R}}{2}\\
\Rightarrow BC = 2BH = \sqrt 3 R\\
\Rightarrow AB = AC = BC\left( { = \sqrt 3 R} \right)
\end{array}$
=> Tam giác ABC đều
d)
Gọi G là trung điểm của AC và J là giao của AE và HD, F' là giao của AE và OB
Ta cần chứng minh F= F'
Dễ thấy HD//OB ; HG//AB mà AB⊥OB;
=> HD⊥GH hay HD là tiếp tuyến của (G) tại H
Từ đó ta có: góc EHJ = góc EAJ
=> ΔHEJ ~ ΔAHJ (g-g)
$ \Rightarrow \frac{{EJ}}{{HJ}} = \frac{{HJ}}{{AJ}} \Rightarrow H{J^2} = EJ.AJ$
Xét tam giác vuông JDA có DE là đường cao, áp dụng hệ thức lương trong Δ:
JD.JD=JE.JA
=> HJ=JD
ÁP dụng định lý Ta lét trogn tam giác OAB có:
Do HD//OB nên: $\frac{{HJ}}{{OF'}} = \frac{{JD}}{{F'B}}\left( { = \frac{{AJ}}{{AF'}}} \right)$
MẦ HJ=JD nên OF'=F'B hay F' là trung điểm của OB
=> F trùng F'
=> A,E,F thẳng hàng
