Giải thích các bước giải:
1. Với các số chia hết cho 3: nó có dạng x=3k
=> x²=9k² chia hết cho 3
Với các số không chia hết cho 3:
-Nếu nó chia 3 dư 1, có dạng: 3k+1
=> x²=(3k+1)²=9k²+6k+1=3(3k²+2k)+1 chia 3 dư 1
-Nếu nó chia 3 dư 2, có dạng: 3k+2
=> x²=(3k+2)²=9k²+12k+4=3(3k²+4k+1)+1 chia 3 dư 1
=> không có số chính phương nào chia 3 dư 2(đpcm)
2. Đặt ${n^2} + 15 = {a^2}$ với a là số nguyên
Khi đó: $\begin{array}{l} {n^2} - {a^2} = -15\\ \Leftrightarrow (n-a)(a + n) = -15 \end{array}$
Vì a và n đều là số nguyên
=> a+n và n-a là những số nguyên
=> a+n và n-a là nghiệm nguyên của 15
Xét vcác trưòng hợp:
$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} n + a = 3\\ n - a = - 5 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} n = - 1\\ a = 4 \end{array} \right. \end{array}$
$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} n + a = 1\\ n - a = - 15 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} n = - 7\\ a = 8 \end{array} \right. \end{array}$
$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} n + a = - 1\\ n - a = 15 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} n = 7\\ a = - 8 \end{array} \right. \end{array}$
$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} n + a = - 3\\ n - a = 5 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} n = 1\\ a = - 4 \end{array} \right. \end{array}$
Thử lại có 4 giá trị đều thoả mãn
