Đáp án:
$m = 0$
Giải thích các bước giải:
$\quad y = x^4 - 2(1-m^2)x^2 + m+1$
$\Rightarrow y' = 4x^3 - 4(1-m^2)x$
$y' = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = 0\\x^2 = 1 - m^2\qquad (*)\end{array}\right.$
Hàm số có $3$ cực trị
$\Leftrightarrow (*)$ có hai nghiệm phân biệt
$\Leftrightarrow 1 - m^2 >0$
$\Leftrightarrow -1 < m < 1$
Khi đó hàm số có $3$ điểm cực trị là:
$A(0;m+1);\ B\left(\sqrt{1-m^2};-(1-m^2)^2+ m +1\right);\ C\left(-\sqrt{1-m^2};-(1-m^2)^2+ m +1\right)$
Gọi $H$ là trung điểm $BC$
$\Rightarrow AH\perp BC\quad (\triangle ABC$ cân tại $A)$
Ta được:
$H(0;-(1-m^2)^2 + m +1))$
$AH = (1-m^2)^2;\ \ BC = 2\sqrt{1-m^2}$
$\Rightarrow S_{ABC}=\dfrac12AH.BC = \dfrac12\cdot (1-m^2)^2\cdot 2\sqrt{1-m^2}$
$\Rightarrow S_{ABC}= (1-m^2)^2\sqrt{1 - m^2} \leqslant 1$
Dấu $=$ xảy ra $\Leftrightarrow m = 0$
Vậy $\max S = 1 \Leftrightarrow m = 0$
