Cho a, b, c > 1. Chứng minh:
a) a2a−1+b2b−1≥8\dfrac{a^2}{a-1}+\dfrac{b^2}{b-1}\ge8a−1a2+b−1b2≥8
b) ab−1+bc−1+ca−1≥12\dfrac{a}{\sqrt{b}-1}+\dfrac{b}{\sqrt{c}-1}+\dfrac{c}{\sqrt{a}-1}\ge12b−1a+c−1b+a−1c≥12
b) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Shwarz dạng Engel, ta có:
A=xy−1+yz−1+zx−1A=\dfrac{x}{\sqrt{y}-1}+\dfrac{y}{\sqrt{z}-1}+\dfrac{z}{\sqrt{x}-1}A=y−1x+z−1y+x−1z
≥(x+y+z)2x+y+z−3\ge\dfrac{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)^2}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}-3}≥x+y+z−3(x+y+z)2
Đặt x+y+z=a(a>0)\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=a\left(a>0\right)x+y+z=a(a>0)
⇒A≥a2a−3\Rightarrow A\ge\dfrac{a^2}{a-3}⇒A≥a−3a2
=12(a−3)+(a2−12a+36)a−3=\dfrac{12\left(a-3\right)+\left(a^2-12a+36\right)}{a-3}=a−312(a−3)+(a2−12a+36)
=12+(a−6)2a−3≥12=12+\dfrac{\left(a-6\right)^2}{a-3}\ge12=12+a−3(a−6)2≥12
Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = 2
Tìm x biết: x2017=x2016
giải pt:
1+23x−x2=x+1−x1+\dfrac{2}{3}\sqrt{x-x^2}=\sqrt{x}+\sqrt{1-x}1+32x−x2=x+1−x
2x+2^{x+2}x+2 +2x^xx =160
vậy x =?
Tam giác ABC có các cạnh là a, b, c và có chu vi bằng 2. Chứng minh rằng :
5227≤a2+b2+c2+2abc<2\dfrac{52}{27}\le a^2+b^2+c^2+2abc< 22752≤a2+b2+c2+2abc<2
Cho A, B, C là 3 góc nhọn của tam giác ABC. Chứng minh:
a) tanA+tanB+tanC=tanA.tanB.tanCtanA+tanB+tanC=tanA.tanB.tanCtanA+tanB+tanC=tanA.tanB.tanC
Tính min P với P=tanA+tanB+tanCP=tanA+tanB+tanCP=tanA+tanB+tanC
b) tan(A2).tan(B2)+tan(B2)tan(C2)+tan(C2).tan(A2)=1tan\left(\dfrac{A}{2}\right).tan\left(\dfrac{B}{2}\right)+tan\left(\dfrac{B}{2}\right)tan\left(\dfrac{C}{2}\right)+tan\left(\dfrac{C}{2}\right).tan\left(\dfrac{A}{2}\right)=1tan(2A).tan(2B)+tan(2B)tan(2C)+tan(2C).tan(2A)=1
Tìm min T với T=tan(A2)+tan(B2)+tan(C2)T=tan\left(\dfrac{A}{2}\right)+tan\left(\dfrac{B}{2}\right)+tan\left(\dfrac{C}{2}\right)T=tan(2A)+tan(2B)+tan(2C)
Tìm x thuộc N để : x^2+8/x+8 thuộc N
Giúp mình câu này với!
Cho tam giác ABC. Tập hợp những điểm M sao cho: ∣MA→+MB→∣=∣MC→+MB→∣\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right|=\left|\overrightarrow{MC} +\overrightarrow{MB}\right|∣∣∣MA+MB∣∣∣=∣∣∣MC+MB∣∣∣là:
A. M nằm trên đường trung trực của BC.
B. M nằm trên đường tròn tâm I, R = 2AB với I nằm trên cạnh AB sao cho IA = 2IB.
C. M nằm trên đường trung trực của IJ với I, J lần lượt là trung điểm của AB và BC.
D. M nằm trên đường tròn tâm I, R = 2AC với I nằm trên cạnh AB sao cho IA = 2IB.
giải hpt:
{3(y2+x2)+1(x−y)2=2(10−xy)2x+1x−y=5\left\{{}\begin{matrix}3\left(y^2+x^2\right)+\dfrac{1}{\left(x-y\right)^2}=2\left(10-xy\right)\\2x+\dfrac{1}{x-y}=5\end{matrix}\right.⎩⎪⎨⎪⎧3(y2+x2)+(x−y)21=2(10−xy)2x+x−y1=5
1)Với 1≤x≤31\le x\le31≤x≤3 tìm GTNN của 6x−1+83−x6\sqrt{x-1}+8\sqrt{3-x}6x−1+83−x
2) Tìm GTLN và GTNN của: a) A=y−2x+5A=y-2x+5A=y−2x+5 , với 36x2+16y2=936x^2+16y^2=936x2+16y2=9
b) B=2x−y−2B=2x-y-2B=2x−y−2 , với x24+y29=1\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{9}=14x2+9y2=1
{2y2−x2=12x3−y3=2y−x\left\{{}\begin{matrix}2y^2-x^2=1\\2x^3-y^3=2y-x\end{matrix}\right.{2y2−x2=12x3−y3=2y−x
