Gọi M,N,P,M',N',P' lần lượt là trung điểm của AB,BC,AC,A'B',B'C',A'C'
Gọi G;G' là trọng tâm của 2 tam giác ABC và A'B'C'.
Gọi O là trung điểm của GG'; K là trung điểm của MM'
Dễ thấy d(O;(ABC))=d(O;(A'B'C'))=OG
Ta có: CM⊥AA' ; CM⊥ A'B' ⇒CM⊥(ABB'A')
xét trong mặt phẳng (MGM'G') có OK//MG
⇒OK⊥(ABA'B') và OK=MG
⇒d(O;(ABB'A'))= MG
Tương tự ta CM được:
d(O;(BCC'B'))=NG
d(O;(ACC'A'))=PG
Để có mặt cầu tiếp xúc với tất cả các mặt của lăng trụ thì:
d(O;(ABC))=d(O;(A'B'C'))=d(O;(ABB'A'))=d(O;(BCC'B'))=d(O;(ACC'A'))=2a
⇔ MG=NG=PG=OG=2a
⇒AA'=2a.2=4a
CM=3MG=6a ⇒ AB=$4\sqrt{3}a$
Vậy V=AA'.S(ABC)=AA'.$\frac{1}{2}$ .CM.AB=$48\sqrt{3}a^3$
