a) Ta có $\Delta ABC\bot A,\widehat A=90^o,\widehat C=30^o$ theo tính chất tổng ba góc trong tam giác ta có:
$\widehat A+\widehat B+\widehat C=180^o$
$\Rightarrow B=180^o-A-C=60^o$
Xét $\Delta AHB$ và $\Delta AHD$ có:
$AH$ chung
$\widehat{AHB}=\widehat{AHC}=90^o$
$BH=DH$ (giả thiết)
$\Rightarrow\Delta AHB=\Delta AHD$ (c.g.c)
$\Rightarrow AB=AD$ (hai cạnh tương ứng)
$\Rightarrow \Delta ABD$ cân đỉnh A có $\widehat B=60^o$ nên $\Delta ABD$ đều.
b) $\Delta ABD$ đều $\Rightarrow \widehat{BAD}=60^o$
$\Rightarrow\widehat{EAC}=\widehat A-\widehat{BAD}=30^o$
Xét $\Delta HAC$ và $\Delta ECA$ có:
$AC$ chung
$\widehat{HCA}=\widehat{EAC}=30^o$
$\Rightarrow \Delta HAC=\Delta ECA$ (cạnh huyền-góc nhọn)
$\Rightarrow HA=EC$ (hai cạnh tương ứng)
c) $\Delta HAC=\Delta ECA\Rightarrow AE=CH$ (1) (hai cạnh tương ứng)
$\Delta DAC$ có $\widehat{DAC}=\widehat{DCA}=30^o\Rightarrow\Delta DAC$ cân đỉnh D nên $AD=CD$ (2)
Từ (1) và (2) $\Rightarrow AE-AD=CH-CD$
$\Rightarrow DE=DH\Rightarrow\Delta DHE$ cân đỉnh D
$\Rightarrow\widehat{EHD}=\dfrac{180^o-\widehat{HDE}}2$
mà $\Delta DAC$ cân đỉnh D nên $\widehat{DCA}=\dfrac{180^o-\widehat{ADC}}2$
mà $\widehat{HDE}=\widehat{ADC} $ (hai góc đối đỉnh)
$\Rightarrow\widehat{EHD}=\widehat{DCA}$ $(=\dfrac{180^o-\widehat{HDE}}2=\dfrac{180^o-\widehat{ADC}}2)$ mà chúng ở vị trí so le trong nên $EH//AC$
