Giải thích các bước giải:

a,

Phương trình đường thẳng BC đi qua BC là:  \(y = 1\)

AD ⊥ BC nên phương trình đường thẳng AD đi qua A và vuông góc với BC là \(x = 2\)

D là giao điểm của AD và BC nên \(D\left( {2;1} \right)\)

b,

Gọi \(I\left( {a;b} \right)\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Khi đó, \(IA = IB = IC\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {AI} \left( {a - 2;b + 2} \right)\\
\overrightarrow {BI} \left( {a - 3;b - 1} \right)\\
\overrightarrow {CI} \left( {a + 4;b - 1} \right)\\
\left\{ \begin{array}{l}
IA = IB\\
IB = IC
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b + 2} \right)^2} = {\left( {a - 3} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2}\\
{\left( {a - 3} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} = {\left( {a + 4} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2}
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = \frac{7}{2}\\
b =  - \frac{5}{6}
\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {\frac{7}{2}; - \frac{5}{6}} \right)
\end{array}\)

a, Gọi D (x;y) là chân đường cao hạ từ A của ΔABC

→AD = (x-2; y+2) , →BC = (-4-3; 1-1) = (-7; 0), →BD = (x-3; y-1)

Vì D là chân đường cao hạ từ A của ΔABC nên ta có

$\left \{ {{→AD⊥→BC} \atop {B, D, C thẳng.hàng}} \right.$ ⇔ $\left \{ {{→BD.→BC=0} \atop {→BD,→BCcùng.phương}} \right.$

⇔ $\left \{ {{(x-2).(-7)+(y+2).0=0} \atop {(x-3).0-(y-1).(-7)=0}} \right.$

⇔ $\left \{ {{(x-2).(-7)=0} \atop {-(y-1).(-7)=0}} \right.$

⇔ $\left \{ {{x-2=0} \atop {y-1=0}} \right.$

⇔ $\left \{ {{x=2} \atop {y=1}} \right.$

⇒ D (2;1)

b, Gọi I (a;b) là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC

→IA = (2-a; -2-b) ⇒ IA = $\sqrt[]{(2-a)²+(-2-b)²}$

→ IB = (3-a; 1-b) ⇒ IB = $\sqrt[]{(3-a)²+(1-b)²}$ 

→ IC = (-4-a; 1-b) ⇒ IC = $\sqrt[]{(-4-a)²+(1-b)²}$

Vì I (a;b) là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC nên ta có IA = IB = IC

⇔ $\left \{ {{IA²=IB²} \atop {IA²=IC²}} \right.$ ⇔ $\left \{ {{(2-a)²+(-2-b)²=(3-a)²+(1-b)²} \atop {(2-a)²+(-2-b)²=(-4-a)²+(1-b)²}} \right.$ ⇔ $\left \{ {{a=\frac{-13}{14} } \atop {b=\frac{-5}{14}}} \right.$

⇒ I ( $\frac{-13}{14}$; $\frac{-5}{14}$ )